Własność ta jest słuszna dla dowolnej macierzy odpowiadającej izometrii.

2) W przypadku obrotu mamy dodatkowo warunek, że obroty zachowują skrętność układu współrzędnych (gdyż nie mogą zmienić kolejności osi układu), co oznacza że wyznacznik macierzy jest równy +1, tj.

Macierz obrotu jest więc specjalną macierzą ortogonalną (tzn. macierzą ortogonalną o wyznaczniku równym 1).

Twierdzenie 2. Jeżeli macierz ma wyznacznik równy jeden i jest ortogonalna, to macierz ta jest macierzą obrotu.

Wniosek:

Z Twierdzenia 1. oraz Twierdzenia 2. wynika, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między specjalnymi macierzami ortogonalnymi a samymi obrotami.

Grupa macierzy obrotu SO(n) Twierdzenie 1. Macierze obrotu tworzą grupę macierzy – specjalną grupę ortogonalną

Np. macierze 2×2 tworzą grupę SO(2), zaś macierze 3×3 tworzą grupę SO(3).

Uzasadnienie:

1) Mnożenie macierzy obrotu jest działaniem w zbiorze tych macierzy, tzn. daje w wyniku macierz obrotu. Niech to wtedy mamy:

2) Element odwrotny: Każda macierz obrotu ma macierz odwrotną, która też jest macierzą obrotu. Jest to macierz transponowana do danej macierzy

oraz

3) Element neutralny: Macierz jednostkowa n×n jest macierzą obrotu o kąt 0°.

4) Mnożenie macierzy jest łączne.