Początkowym rozwiązaniem bazowym jest
Wartość funkcji celu wynosi wówczas
Ponieważ zwiększenie lub może poprawić wartość funkcji celu, wykonuje się kolejną iterację. Po wykonaniu kolejnych operacji pivotowych algorytm przechodzi pomiędzy sąsiednimi wierzchołkami obszaru dopuszczalnego.
Dla tego zadania rozwiązaniem optymalnym jest
a maksymalna wartość funkcji celu wynosi
Inicjalizacja algorytmu
Jednym z warunków rozpoczęcia klasycznego algorytmu sympleksowego jest posiadanie bazowego rozwiązania dopuszczalnego.
W prostych zadaniach, w których wszystkie ograniczenia mają postać
można często uzyskać takie rozwiązanie bezpośrednio po dodaniu zmiennych luzu.
W ogólnym przypadku znalezienie początkowego rozwiązania dopuszczalnego może wymagać zastosowania dodatkowej procedury. Stosuje się między innymi metodę dwufazową.
W pierwszej fazie konstruuje się pomocnicze zadanie programowania liniowego, którego rozwiązanie pozwala ustalić, czy pierwotny problem ma rozwiązanie dopuszczalne.