La probabilidá ye un métodu pol cual llógrase la frecuencia d'un acontecimientu determináu por aciu la realización d'un esperimentu aleatoriu, del que se conocen tolos resultaos posibles, so condiciones abondo estables.
La probabilidá ye un eventu o socesu que puede ser improbable, probable o seguro.
La teoría de la probabilidá úsase estensamente n'árees como la estadística, la física, la matemática, les ciencies y la filosofía pa sacar conclusiones sobre la probabilidá discreta de socesos potenciales y la mecánica subxacente discreta de sistemes complexos, polo tanto ye la caña de les matemátiques qu'estudia, mide o determina a los esperimentos o fenómenos aleatorios.
Historia
La definición de probabilidá surde debíu al deséu del ser humanu por conocer con certidume los eventos que van asoceder nel futuru. Ye por eso qu'al traviés de la historia desenvolviéronse distintos enfoques pa tener un conceutu de la probabilidá y determinar los sos valores.
Pierre-Simon Laplace afirmó: "Ye notable qu'una ciencia qu'empezó con considerancies sobre xuegos d'azar aportara a l'oxetu más importante de la conocencia humana". Entender y estudiar l'azar ye indispensable, porque la probabilidá ye un soporte necesariu pa tomar decisiones en cualquier ámbitu.
Según Amanda Dure, "Antes de la metá del sieglu XVII, el términu 'probable' (en llatín probable) significaba aprobable, y aplicábase nesi sentíu, unívocamente, a la opinión y a l'aición. Una aición o opinión probable yera una que les persones sensates entamaríen o caltendríen, nes circunstancies."Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). páxs. 54-55. ISBN 0-521-39459-7
Amás de delles considerancies elementales feches por Girolamo Cardano nel sieglu XVI, la doctrina de les probabilidaes data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) dio-y el tratamientu científicu conocíu más tempranu al conceutu. Ars Conjectandi (póstumu, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) d'Abraham de Moivre trataron la tema como una caña de les matemátiques. Vease El surdimientu de la probabilidá (The Emergence of Probability) d'Ian Hacking pa una hestoria de los principios del desenvolvimientu del propiu conceutu de probabilidá matemática.
La teoría d'errores puede trazase tras nel tiempu hasta Opera Miscellanea (póstumu, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó per primer vegada la teoría pal discutiniu d'errores d'observación. La reimpresión (1757) d'esta memoria espón los axomes de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y qu'hai ciertes llendes asignables dientro de los cualos supónse que cayen tolos errores; alderíquense los errores continuos y dase una curva de la probabilidá.
Pierre-Simon Laplace (1774) fixo'l primer intentu pa deducir una regla pa la combinación d'observaciones a partir de los principios de la teoría de les probabilidaes. Representó la llei de la probabilidá d'error con una curva , siendo cualquier error y y la so probabilidá, y espunxo tres propiedaes d'esta curva: ye simétrica a la exa ; la exa ye una asíntota, siendo la probabilidá del error igual a 0; la superficie zarrada ye 1, faciendo cierta la esistencia d'un error. Dedució una fórmula pa la media de tres observaciones. Tamién llogró (1781) una fórmula pa la llei de facilidá d'error (un términu por cuenta de Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdució'l principiu del máximu productu de les probabilidaes d'un sistema d'errores concurrentes.
El métodu de mínimos cuadraos deber a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdució nel so Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos pa la determinación de les órbites de les cometes). Inorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés d'Estaos Xuníos, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedució per primer vegada la llei de facilidá d'error,
siendo y constantes que dependen de la precisión de la observación. Espunxo dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la mesma de John Herschel (1850). Gauss espunxo la primer demostración que paez que se conoció n'Europa (la tercera dempués de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales esponer por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personaxes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) pa , l'error probable d'una única observación, ye bien conocida.
Nel sieglu XIX, los autores de la teoría xeneral incluyíen a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole ameyoraron la esposición de la teoría.
En 1930 Andréi Kolmogorov desenvolvió la base axomática de la probabilidá utilizando teoría de la midida.
Na parte xeométrica (vease xeometría integral) los collaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).
Teoría
La probabilidá constitúi un importante parámetru na determinación de les diverses casualidaes llograes tres una serie d'eventos esperaos dientro d'un rangu estadísticu.
Esisten diverses formes como métodu astractu, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividá numbérica, esta postrera con un altu grau d'aceptación si tomar en cuenta que mengua considerablemente les posibilidaes hasta un nivel mínimu yá que somete a toles antigües regles a una simple llei de relatividá.
La probabilidá d'un eventu se denota cola lletra p y esprésase en términos d'una fraición y non en porcentaxes, polo que'l valor de p cai ente 0 y 1. Per otra parte, la probabilidá de qu'un eventu "nun asoceda" equival a 1 menos el valor de p y se denota cola lletra q
Los trés métodos pa calcular les probabilidaes son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
Regla de la adición La regla de la adición o regla de la suma establez que la probabilidá d'escurrimientu de cualquier eventu en particular ye igual a la suma de les probabilidaes individuales, si ye que los eventos son mutuamente escluyentes, esto ye, que dos nun pueden asoceder coles mesmes.
P(A o B) = P(A) O P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente escluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son non escluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidá d'escurrimientu del eventu A. P(B) = probabilidá d'escurrimientu del eventu B. P(A y B) = probabilidá d'escurrimientu simultáneu de los eventos A y B.
Regla de la multiplicación La regla de la multiplicación establez que la probabilidá d'escurrimientu de dos o más eventos estadísticamente independientes ye igual al productu de les sos probabilidaes individuales.
P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.
P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.
Un llote contién "100" oxetos de los cualos "20" son defectuosos. Los oxetos son escoyíos unu dempués del otru pa ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos oxetos son escoyíos ensin reemplazamiento (significa que l'oxetu que s'escueye al azar dexar por fora del llote). ¿Cuál ye la probabilidá de que los dos oxetos escoyíos seyan defectuosos?
Solución:
Sía los eventos
A1 = {primer oxetu defectuosu}, A2 {segundu oxetu defectuosu}
entós dos oxetos escoyíos van ser defectuosos, cuando asocede l'eventu A1∩ A2 que ye la interseición ente los eventos A1 y A2. De la información dada tiense que:
P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99
asina probabilidá de que los dos oxetos escoyíos seyan defectuosos ye
P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1) (20/100)(19/99) 19/495 = 0.038
Agora suponga qu'escueye un tercer oxetu, entós la probabilidá de que los trés oxetos escoyíos seyan defectuosos ye
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2) (20/100)(19/99)(18/98) 19/2695 = 0.007
Regla de Laplace La Regla de Laplace establez que: La probabilidá d'escurrimientu d'un socesu imposible ye 0. La probabilidá d'escurrimientu d'un socesu seguro ye 1, esto ye, P(A) = 1. P'aplicar la regla de Laplace ye necesariu que los esperimentos dean llugar a socesos equiprobables, esto ye, que toos tengan o tengan la mesma probabilidá. La probabilidá de qu'asoceda un socesu calcúlase asina: P(A) = Nᵘde casos favorables / Nᵘde resultancies posibles
Esto significa que: la probabilidá del eventu A ye igual al cociente del númberu de casos favorables (los casos ónde asocede A) sobre'l total de casos posibles.
Distribución binomial La probabilidá d'escurrimientu d'una combinación específica d'eventos independientes y mutuamente escluyentes determinar cola distribución binomial, que ye aquella onde hai solu dos posibilidaes, tales como masculín/femenín o si/non.
Hai dos resultaos posibles mutuamente escluyentes en cada ensayu o observación. La serie d'ensayos o observaciones constitúin eventos independientes. La probabilidá d'ésitu permanez constante d'ensayu a ensayu, ye dicir el procesu ye estacionariu.
P'aplicar esta distribución al cálculu de la probabilidá de llograr un númberu dau d'ésitos nuna serie d'esperimentos nun procesu de Bermnoulli, ríquense trés valores: el númberu designáu d'ésitos (m), el númberu d'ensayos y observaciones (n); y la probabilidá d'ésitu en cada ensayu (p). Entós la probabilidá de qu'asocedan m ésitos nun esperimentu de n ensayos ye: P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m Siendo: nCm el númberu total de combinaciones posibles de m elementos nun conxuntu de n elementos. N'otres pallabres P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
Exemplu. La probabilidá de qu'un alumnu apruebe l'asignatura Cálculu de Probabilidaes ye de 0,15. Si nun semestre intensivu inscríbense 15 alumnos ¿Cuál ye la probabilidá de qu'aprueben 10 d'ellos? P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Xeneralmente esiste un interés na probabilidá acumulada de "m o más " ésitos o "m o menos" ésitos en n ensayos. En tal casu tenemos de tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1) P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n) P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m) P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n) Supongamos que del exemplu anterior deseyar saber la probabilidá de qu'aprueben: a.− siquier 5 b.− más de 12 a.− la probabilidá de qu'aprueben siquier 5 ye: P(x ≥ 5) esto ye, que: 1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] = 1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618 Nota: Siquier, a lo menos y a lo menos son llocuciones alverbiales sinónimas.
Exemplu: La entrada al cine a lo menos va tener un costu de 10 soles (a lo menos podría costar 10 soles o más). b.− la probabilidá de qu'aprueben más de 12 ye P(x > 12) esto ye, que: P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15) P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9 La esperanza matemática nuna distribución binomial puede espresase como: Y(x) = np = 15(0,15)=2,25 Y la varianza del númberu esperáu d'ésitos puede calculase direutamente: Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadístiques y probabilidaes, colos sos distintos diagramaciones como: diagrama de barres. diagrama de llinia. y diagrama de círculos que s'apliquen d'alcuerdu al tipu d'estadístiques y probabilidaes matemátiques.
Aplicaciones