Поле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.
Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.
Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле рэчаісных лікаў, поле рацыянальных лікаў і поле камплексных лікаў.
Строгае азначэнне
Агульнае азначэнне Поле − гэта мноства , на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі «» і " " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы: ёсць абелева група (з нейтральным элементам 0) ёсць абелева група (з нейтральным элементам 1) Выконваецца размеркавальны закон: для любых справядліва: (левы размеркавальны закон) (правы размеркавальны закон)
Пералік неабходных аксіём Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля: Уласцівасці складання: (спалучальны закон) (перамяшчальны закон) Існуе элемент такі, што (нейтральны элемент) Для кожнага існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент , такі што Уласцівасці множання: (спалучальны закон) (перамяшчальны закон) Існуе элемент , такі што (нейтральны элемент). Для кожнага існуе адваротны адносна множання элемент , такі што Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання: (левы размеркавальны закон) (інакш нулявое колца было б полем)
Заўвага 1: правы размеркавальны закон
вынікае з астатніх уласцівасцей:
Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.
Літаратура
Катэгорыя:Тэорыя палёў Катэгорыя:Абстрактная алгебра