Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.
Фактаргрупа групы па нармальнай падгрупе звычайна абазначаецца .
Вызначэнне
Няхай — група, і — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці у
можна ўвесці множанне:
Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі і , то . Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група называецца фактаргрупай па .
Уласцівасці
Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма , г. зн. фактаргрупа па ядру ізаморфна яе вобразу у . Адлюстраванне задае натуральны гомамарфізм . Парадак роўны індэксу падгрупы . У выпадку канечнай групы ён роўны . Калі абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і будзе мець тыя жа ўласцівасці. ізаморфная трывіяльнай групе (), ізаморфная .
Прыклады
Няхай , , тады ізаморфная . Няхай (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц), (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады ізоморфна групе дыяганальных матрыц.
Літаратура
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — : «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.
Катэгорыя:Тэорыя груп