Гісторыя тэорыі імавернасцей мае мноства ўнікальных асаблівасцей. Перш за ўсё, у адрозненне ад іншых раздзелаў матэматыкі, якія ўзніклі прыкладна ў той жа час (напрыклад, матэматычнага аналізу ці аналітычнай геаметрыі), у тэорыі імавернасцей па сутнасці не было антычных ці сярэдневяковых папярэднікаў, яна цалкам — стварэнне Новага часу. Доўгі час тэорыя імавернасцей лічылася чыста эксперыментальнаю навукаю і «не зусім матэматыкаю», яе строгае абгрунтаванне было распрацавана толькі ў 1929 годзе, г. зн. нават пазней, чым аксіяматыка тэорыі мностваў (1922). У нашы дні тэорыя імавернасцей займае адно з першых месцаў у прыкладных навуках па шырыні сваёй вобласці прымянення; «няма амаль ні аднае прыродазнаўчае навукі, у якой так ці йначай не прымяняліся б імавернасныя метады».

Гісторыкі выдзяляюць у развіцці тэорыі імавернасцей некалькі перыядаў. Перадгісторыя, да XVI ст. ўключна. У антычныя часы і ў Сярэднявечча натурфілосафы абмяжоўваліся метафізічнымі разважаннямі аб паходжанні выпадковасці і яе ролі ў прыродзе. Матэматыкі ў гэты перыяд разглядалі і часам рашалі задачы, звязаныя з тэорыяй імавернасцей, але ніякіх агульных метадаў і тэматычных паняццяў яшчэ не з’явілася. Галоўным дасягненнем гэтага перыяду можна лічыць развіццё камбінаторных метадаў, якія пазней спатрэбіліся стваральнікам тэорыі імавернасцей. Пачатак фарміравання ў другой палавіне XVII ст. асноўных паняццяў і метадаў тэорыі імавернасцей для выпадковых велічынь з канечным лікам значэнняў. Стымулам спачатку служылі пераважна праблемы, што ўзнікалі ў азартных гульнях, аднак вобласць прымянення тэорыі імавернасцей амаль адразу пачынае пашырацца, уключаючы ў сябе прыкладныя задачы дэмаграфічнай статыстыкі, страхавой справы і тэорыі прыбліжаных вылічэнняў. На гэтым этапе важны ўклад у ідэі новай навукі ўнеслі Паскаль і Ферма. Гюйгенс увёў два фундаментальныя паняцці: лікавая мера імавернасці падзеі, а таксама паняцце матэматычнага спадзявання выпадковай велічыні. У XVIII стагоддзі з’явіліся манаграфіі з сістэматычным выкладам тэорыі імавернасцей. Першаю з іх стала кніга Якаба Бернулі «Мастацтва здагадак» (1713 год). У ёй Бернулі прапанаваў класічнае азначэнне імавернасці выпадковай падзеі як адносіну ліку роўнаімаверных зыходаў, звязаных з гэтаю падзеяй, да агульнага ліку зыходаў. Ён таксама выклаў правілы падліку імавернасці для складаных падзей і даў першы варыянт ключавога «закона вялікіх лікаў», які тлумачыць, чаму частата падзеі ў серыі выпрабаванняў не мяняецца хаатычна, а ў некаторым сэнсе імкнецца да свайго гранічнага тэарэтычнага значэння (г. зн. імавернасці). Ідэі Бернулі далёка развілі ў пачатку XIX стагоддзя Лаплас, Гаус, Пуасон. Выкарыстанне імавернасных метадаў у прыкладной статыстыцы значна пашырылася. Паняцце імавернасці было вызначана і для непарыўных выпадковых велічынь, дзякуючы чаму з’явілася магчымасць прымянення метадаў матэматычнага аналізу. Паяўляюцца першыя спробы прымянення тэорыі імавернасцей у фізіцы. К канцу XIX ст. з’яўляюцца статыстычная фізіка, строгая тэорыя хібнасцей вымярэння, імавернасныя метады пранікаюць у самыя розныя прыкладныя навукі. У XX ст. ў фізіцы была створана тэорыя мікрасвету, а ў біялогіі — тэорыя спадчыннасці, абедзве яны істотна заснаваныя на імавернасных метадах. Карл Пірсан распрацаваў алгарытмы матэматычнай статыстыкі, шырока і паўсюдна ўжываныя для аналізу прыкладных вымярэнняў, праверкі гіпотэз і прыняцця рашэнняў. А. М. Калмагораў даў класічную аксіяматыку тэорыі імавернасцей. З іншых новых абласцей прымянення тэорыі імавернасцей трэба згадаць тэорыю інфармацыі і тэорыю выпадковых працэсаў. Філасофскія спрэчкі пра тое, што такое імавернасць і ў чым прычына яе ўстойлівасці, працягваюцца.

Сярэдневяковая Еўропа і пачатак Новага часу міні|left|Старажытныя ўзоры ігральных касцей Першыя задачы імавернаснага характару ўзніклі ў розных азартных гульнях — касцях, картах і інш. Французскі канонік XIII ст. Рышар дэ Фурніваль правільна падлічыў усе магчымыя сумы ачкоў пасля кідка трох касцей і ўказаў лік спосабаў, якімі можа атрымацца кожная з гэтых сум. Гэты лік спосабаў можна разглядаць як першую лікавую меру магчымасці падзеі, аналагічную імавернасці. Да Фурніваля, а іншы раз і пасля яго, гэту меру часта падлічвалі няправільна, мяркуючы, напрыклад, што сумы 3 і 4 ачка роўнаімаверныя, бо абедзве могуць атрымацца «толькі адным спосабам»: па выніках кідка «тры адзінкі» і «двойка з дзвюма адзінкамі» адпаведна. Пры гэтым не ўлічвалася, што тры адзінкі на самай справе атрымліваюцца толькі адным спосабам: , а двойка з дзвюма адзінкамі — трыма: , так што гэтыя падзеі не роўнаімаверныя. Падобныя памылкі неаднаразова сустракаліся і ў далейшай гісторыі навукі.

У вялікай матэматычнай энцыклапедыі «Сума арыфметыкі, геаметрыі, адносін і прапорцый» італьянца Лукі Пачолі (1494) ёсць арыгінальныя задачы на тэму: як падзяліць стаўку паміж двума ігракамі, калі серыя гульняў прыпынена датэрмінова. Прыклад падобнай задачы: гульня ідзе да 60 ачкоў, пераможац атрымлівае ўсю стаўку ў 22 дукаты, у ходзе гульні першы ігрок набраў 50 ачкоў, другі — 30, і тут гульню прыйшлося спыніць; патрэбна справядліва падзяліць зыходную стаўку. Рашэнне залежыць ад таго, што разумець пад «справядлівым» падзелам; сам Пачолі прапанаваў дзяліць прапарцыянальна набраным ачкам (55/4 і 33/4 дуката); пазней яго рашэнне было прызнана памылковым — С. 184—186..

Буйны алгебраіст XVI стагоддзя Джэралама Кардана прысвяціў аналізу гульні змястоўную манаграфію «Кніга аб гульні ў косці» (1526 год, апублікавана пасмяротна). Кардана правёў поўны і беспамылковы камбінаторны аналіз для значэнняў сумы ачкоў і прывёў для розных падзей чаканае значэнне долі «спрыяльных» падзей: напрыклад, пры кіданні трох касцей доля выпадкаў, калі значэнні ўсіх 3 касцей супадаюць, роўная 6/216 ці 1/36. Кардана зрабіў праніклівую заўвагу: сапраўдная колькасць даследуемых падзей можа пры невялікім ліку гульняў моцна адрознівацца ад тэарэтычнай, але чым больш гульняў у серыі, тым доля гэтага адрознення меншая. Па сутнасці, Кардана блізка падышоў да паняцця імавернасці: Такім чынам, ёсць адно агульнае правіла для разліку: неабходна ўлічыць агульны лік магчымых выпадзенняў і лік спосабаў, якімі могуць з’явіцца гэтыя выпадзенні, а затым знайсці дзель апошняга ліку на лік астатніх магчымых выпадзенняў.

Іншы італьянскі алгебраіст, Нікола Тарталья, раскрытыкаваў падыход Пачолі да рашэння задачы аб падзеле стаўкі: бо калі адзін з ігракоў яшчэ не паспеў набраць ні аднаго ачка, то алгарытм Пачолі аддае ўсю стаўку яго саперніку, але гэта цяжка назваць справядлівым, бо некаторыя шансы на выйгрыш у адстаючага ўсё ж ёсць. Кардана і Тарталья прапанавалі свае (розныя) спосабы падзелу, але пазней і гэтыя спосабы былі прызнаны няўдалымі.

Даследаваннем гэтай тэмы займаўся і Галілеа Галілей, які напісаў трактат «Аб выхадзе ачкоў пры гульні ў косці» (1718 год, апублікаваны пасмяротна). Выклад тэорыі гульні ў Галілея адрозніваецца вычарпальнаю паўнатою і яснасцю. У сваёй галоўнай кнізе «Дыялог аб дзвюх найгалоўнейшых сістэмах свету, пталемеевай і капернікавай» Галілей таксама адзначыў магчымасць ацэнкі хібнасці астранамічных і іншых вымярэнняў, прычым заявіў, што малыя хібнасці вымярэння больш імаверныя, чым вялікія, адхіленні ў абодва бакі роўнаімаверныя, а сярэдняе значэнне павінна быць блізкім да сапраўднага значэння вымяранай велічыні. Гэтыя якасныя разважанні сталі першым у гісторыі прадказаннем нармальнага размеркавання хібнасцей.

XVII стагоддзе: Паскаль, Ферма, Гюйгенс

У XVII стагоддзі пачало фарміравацца выразнае ўяўленне пра праблемы тэорыі імавернасцей і з’явіліся першыя матэматычныя (камбінаторныя) метады рашэння імавернасных задач. Заснавальнікамі матэматычнай тэорыі імавернасцей сталі Блез Паскаль і П’ер Ферма.

Перад гэтым матэматык-аматар шэвалье дэ Мерэ звярнуўся да Паскаля наконт т. зв. «задачы аб ачках»: колькі разоў трэба кідаць дзве косці, каб ставіць на адначасовае выпадзенне хоць раз дзвюх шасцёрак было выгадна? Паскаль і Ферма пачалі перапісвацца адзін з адным наконт гэтай задачы і блізкіх пытанняў (1654). Перапісваючыся, вучоныя абмеркавалі шэраг праблем, звязаных з імавернаснымі разлікамі; сярод іншага, разглядалася старая задача пра раздзел стаўкі, і абодва навукоўцы прыйшлі да рашэння, што трэба падзяліць стаўку адпаведна шансам на выйгрыш, якія застаюцца на момант спынення гульні. Паскаль указаў дэ Мерэ на памылку, дапушчаную ім пры рашэнні «задачы пра ачкі»: у той час як дэ Мерэ няправільна вызначыў роўнаімаверныя падзеі, атрымаўшы адказ: 24 кідкі, Паскаль даў правільны адказ: 25 кідкоў.

Паскаль у сваіх працах далёка прасунуў прымяненне камбінаторных метадаў, якія сістэматызаваў у сваёй кнізе «Трактат аб арыфметычным трохвугольніку» (1665). Абапіраючыся на імавернасны падыход, Паскаль нават даказваў (у пасмяротна апублікаваных заметках), што быць веруючым выгадней, чым атэістам (гл. «пары Паскаля)».

Тэматыка дыскусіі Паскаля і Ферма (без падрабязнасцей) стала вядома Хрысціяну Гюйгенсу, які апублікаваў уласнае даследаванне «Аб разліках у азартных гульнях» (1657): першы трактат па тэорыі імавернасцей. У прадмове Гюйгенс піша: Я мяркую, што пры ўважлівым вывучэнні прадмета чытач заўважыць, што мае справу не толькі з гульнёю, але што тут закладваюцца асновы вельмі цікавай і глыбокай тэорыі.

У трактаце Гюйгенс падрабязна выкладае пытанні, разгледжаныя Ферма і Паскалем, але ставіць і новыя пытанні. Галоўным дасягненнем нідэрландскага навукоўца стала ўвядзенне паняцця матэматычнага спадзявання, г. зн. тэарэтычнага сярэдняга значэння выпадковай велічыні. Гюйгенс таксама ўказаў класічны спосаб яго падліку: Калі лік выпадкаў, у якіх атрымліваецца сума , роўны , а лік выпадкаў, у якіх атрымліваецца сума , роўны , то вартасць майго спадзявання раўняецца .

Гюйгенс, як відаць з цытаты, спачатку выкарыстоўваў тэрмін «вартасць», а тэрмін «спадзяванне» з’явіўся ўпершыню пры перакладзе трактата Гюйгенса Ван Схоўтэнам на лацінскую мову і стаў агульнапрынятым у навуцы.

У кнізе вялікая колькасць задач, некаторыя з рашэннямі, іншыя «для самастойнага рашэння». З апошніх асаблівую цікавасць і ажыўленае абмеркаванне выклікала «задача аб спусташэнні іграка». У некалькі абагульненым выглядзе яна фармулюецца так: у ігракоў A і B ёсць і манет адпаведна, у кожнай гульні выйграецца адна манета, імавернасць выйгрышу A ў кожнай гульні роўная трэба знайсці імавернасць яго поўнага спусташэння. Поўнае агульнае рашэнне «задачы аб спусташэнні» даў Абрахам дэ Муаўр праз паўстагоддзя (1711). У нашы дні імавернасная схема «задачы аб спусташэнні» выкарыстоўваецца пры рашэнні многіх задач тыпу «выпадковае блуканне».

Гюйгенс прааналізаваў і задачу аб падзеле стаўкі, даўшы яе канчатковае рашэнне: стаўку трэба раздзяліць прапарцыянальна імавернасцям выйгрышу пры працягу гульні. Ён таксама ўпершыню прымяніў імавернасныя метады ў дэмаграфічнай статыстыцы і паказаў, як разлічыць сярэднюю працягласць жыцця.

Да гэтага ж перыяду адносяцца публікацыі англійскіх статыстыкаў Джона Граўнта (1662) і Уільяма Пеці (1676, 1683). Апрацаваўшы даныя больш чым за стагоддзе, яны паказалі, што многія дэмаграфічныя характарыстыкі лонданскага насельніцтва, нягледзячы на выпадковыя ваганні, маюць досыць устойлівы характар — напрыклад, суадносіны ліку нованароджаных хлопчыкаў і дзяўчынак рэдка адхіляецца ад прапорцыі 14 к 13, невялікія ваганні і працэнта смяротнасці ад канкрэтных выпадковых прычын. Гэтыя даныя падрыхтавалі навуковую супольнасць да ўспрымання новых ідэй.

Граўнт таксама ўпершыню склаў  — табліцы імавернасці смерці як функцыі ўзросту. Пытаннямі тэорыі імавернасцей і яе прымянення ў дэмаграфічнай статыстыцы заняліся таксама Іаган Худэ і Ян дэ Віт у Нідэрландах, якія ў 1671 годзе таксама склалі табліцы смяротнасці і выкарысталі іх для вылічэння памераў пажыццёвай рэнты. Падрабязней гэты круг пытанняў быў выкладзены ў 1693 годзе Эдмундам Галеем — P. 23—41..

XVIII стагоддзе