U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je
za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:
Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:
"Binomni tip"
Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz
iz binomnog tipa.
Dokaz
Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je
Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1
po hipotezi indukcije
množeći sa a i b dobijamo
izvlačimo član k = 0
i kažemo da je j = k − 1
izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane
te kombinujemo dobijene sume
iz Pascalovog pravila imamo da je
dodajemo u m + 1 članova.
Binomni broj
Binomni broj je broj u obliku (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:
Primjeri:
Da bi razložili na faktore, koristite izraz
Također pogledajte
Binomna distribucija Binommna vjerovatnoća Inverzni binomni teorem Binomni red Kombinacija Stirlingova aproksimacija Multinomni teorem Negativna binomnna distribucija Pascalov trougao
Zabilješke
Reference
Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.
Vanjski linkovi
Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Kategorija:Teme o faktorijelima i binomima Kategorija:Algebra Kategorija:Matematičke teoreme Kategorija:Članci koji sadrže dokaz