En matemàtiques, un tensor simètric és un tensor no barrejat que és invariant sota una permutació dels seus arguments vectorials:

per a cada permutació σ dels símbols Alternativament, un tensor simètric d'ordre r representat en coordenades com una quantitat amb r índexs satisfà

L'espai de tensors simètrics d'ordre r en un espai vectorial de dimensió finita V és naturalment isomorf al dual de l'espai de polinomis homogenis de grau r en V. Sobre camps de característica zero, l'espai vectorial graduat de tots els tensors simètrics es pot identificar naturalment amb l'àlgebra simètrica en V. Un concepte relacionat és el del tensor antisimètric o forma alternant. Els tensors simètrics apareixen àmpliament en enginyeria, física i matemàtiques.

Definició Sigui V un espai vectorial i

un tensor d'ordre k. Aleshores T és un tensor simètric si

per a les aplicacions de trenat associades a cada permutació σ sobre els símbols {1,2,..., k } (o equivalentment per a cada transposició sobre aquests símbols).

Donada una base {ei} de V, qualsevol tensor simètric T de rang k es pot escriure com a

per a una llista única de coeficients (els components del tensor a la base) que són simètrics respecte als índexs. És a dir

per a cada permutació σ.

L'espai de tots els tensors simètrics d'ordre k definits a V sovint es denota per Sk(V) o Symk(V). És en si mateix un espai vectorial, i si V té dimensió N, aleshores la dimensió de Symk(V) és el coeficient binomial.

Aleshores construïm Sym(V) com la suma directa de Symk(V) per a k = 0,1,2,...

Exemples Hi ha molts exemples de tensors simètrics. Alguns inclouen el tensor mètric, , el tensor d'Einstein, i el tensor de Ricci, .

Moltes propietats i camps dels materials utilitzats en física i enginyeria es poden representar com a camps tensorials simètrics; per exemple: tensió, deformació i conductivitat anisotròpica. A més, en la ressonància magnètica de difusió sovint s'utilitzen tensors simètrics per descriure la difusió al cervell o a altres parts del cos.

Els el·lipsoides són exemples de varietats algebraiques; i per tant, per a un rang general, els tensors simètrics, en forma de polinomis homogenis, s'utilitzen per definir varietats projectives, i sovint s'estudien com a tals.

Donada una varietat riemanniana equipat amb la seva connexió Levi-Civita , el tensor de curvatura covariant és un tensor simètric d'ordre 2 sobre l'espai vectorial de formes diferencials 2. Això correspon al fet que, veient , tenim la simetria entre el primer i el segon parell d'arguments, a més de l'antisimetria dins de cada parell:

Part simètrica d'un tensor Suposem és un espai vectorial sobre un camp de característica 0. Si és un tensor d'ordre , aleshores la part simètrica de és el tensor simètric definit per

la suma que s'estén sobre el grup simètric en k símbols. En termes d'una base, i emprant la convenció de suma d'Einstein, si

llavors

Els components del tensor que apareixen a la dreta sovint es denoten per

amb parèntesis () al voltant dels índexs que es simetritzen. Els claudàtors [] s'utilitzen per indicar l'antisimetrització.

Producte simètric Si T és un tensor simple, donat com a producte tensorial pur

aleshores la part simètrica de T és el producte simètric dels factors:

En general, podem convertir Sym(V) en una àlgebra definint el producte commutatiu i associatiu ⊙. Donats dos tensors i , fem servir l'operador de simetrització per definir:

Es pot verificar (com ho fan Kostrikin i Manin) que el producte resultant és de fet commutatiu i associatiu. En alguns casos, s'omet l'operador: .

En alguns casos s'utilitza una notació exponencial:

On v és un vector. De nou, en alguns casos, ⊙ s'omet:

Referències

Categoria:Matemàtiques