En matemàtiques, la transformada de Bäcklund o transformació de Bäcklund (anomenades així pel matemàtic suec Albert Victor Bäcklund) relacionen equacions diferencials parcials i les seves solucions. Són una eina important en la teoria de solitons i els sistemes integrables. Una transformada de Bäcklund és típicament un sistema d'equacions diferencials parcials de primer ordre que relacionen dues funcions i que sovint depenen d'un paràmetre addicional. Implica que les dues funcions satisfan per separat equacions diferencials parcials, i aleshores es diu que cadascuna de les dues funcions és una transformació de Bäcklund de l'altra.
Una transformada de Bäcklund que relaciona solucions d'una mateixa equació s'anomena transformada de Bäcklund invariant o transformada auto-de Bäcklund. Si es pot trobar una transformada d'aquest tipus, es pot deduir molt sobre les solucions de l'equació, especialment si la transformada de Bäcklund conté un paràmetre. Tanmateix, no es coneix cap manera sistemàtica de trobar les transformades de Bäcklund.
Història miniatura|Les transformades de Bäcklund es van originar com a transformacions de pseudoesferes a la dècada de 1880. Les transformades de Bäcklund tenen els seus orígens en la geometria diferencial : el primer exemple no trivial és la transformació de superfícies pseudoesfèriques introduïda per L. Bianchi i AV Bäcklund a la dècada de 1880. Aquesta és una construcció geomètrica d'una nova superfície pseudoesfèrica a partir d'una superfície inicial d'aquest tipus utilitzant una solució d'una equació diferencial lineal. Les superfícies pseudoesfèriques es poden descriure com a solucions de l'equació sinusoidal de Gordon, i per tant la transformació de Bäcklund de les superfícies es pot veure com una transformació de les solucions de l'equació sinusoidal de Gordon.
Les equacions de Cauchy-Riemann L'exemple prototípic d'una transformada de Bäcklund és el sistema de Cauchy-Riemann
que relaciona les parts real i imaginària i d'una funció holomorfa. Aquest sistema d'equacions diferencials parcials de primer ordre té les propietats següents.
Si i són solucions de les equacions de Cauchy-Riemann, aleshores és una solució de l'equació de Laplace (és a dir, una funció harmònica), i també ho és. Això es dedueix directament derivant les equacions respecte a i i utilitzant el fet que A l'inrevés, si és una solució de l'equació de Laplace, aleshores existeixen funcions que resolen les equacions de Cauchy-Riemann juntament amb.
Així, en aquest cas, una transformació de Bäcklund d'una funció harmònica és simplement una funció harmònica conjugada. Les propietats anteriors signifiquen, més precisament, que l'equació de Laplace per a i l'equació de Laplace per a són les condicions d'integrabilitat per resoldre les equacions de Cauchy-Riemann.
Aquestes són les característiques d'una transformada de Bäcklund. Si tenim una equació diferencial parcial en , i una transformació de Bäcklund de a , podem deduir una equació diferencial parcial que satisfà .
Aquest exemple és força trivial, perquè les tres equacions (l'equació per a , l'equació per a i la transformada de Bäcklund que les relaciona) són lineals. Les transformades de Bäcklund són més interessants quan només una de les tres equacions és lineal.
L'equació sinusoidal de Gordon Suposem que u és una solució de l'equació sinusoidal de Gordon
Aleshores, el sistema
on a és un paràmetre arbitrari, és resoluble per a una funció v que també satisfarà l'equació sinusoidal de Gordon. Aquest és un exemple d'una transformada auto-Bäcklund.
Mitjançant un sistema matricial, també és possible trobar una transformada lineal de Bäcklund per a solucions de l'equació sinusoidal de Gordon.
L'equació de Liouville Una transformada de Bäcklund pot convertir una equació diferencial parcial no lineal en una equació diferencial parcial lineal més simple.
Per exemple, si u i v estan relacionats mitjançant la transformada de Bäcklund
on a és un paràmetre arbitrari, i si u és una solució de l'equació de Liouville
aleshores v és una solució de l'equació molt més simple, , i viceversa.
Aleshores podem resoldre l'equació de Liouville (no lineal) treballant amb una equació lineal molt més simple.
Referències
Categoria:Geometria diferencial