Mnohoúhelník (také polygon) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Další možná definice je tato: mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čárou takovou, že žádné tři následující koncové body jejích úseček neleží v jedné přímce.
Základní pojmy Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník… (obecně -úhelník).
Znázornění a zápis Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly.
Soubor:Mnohouhelnik.jpg
Druhy mnohoúhelníků Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy) se mnohoúhelníky dělí na: pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné, konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je větší než 180°), pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, případně 270°) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu). jednoduché a degenerované (alespoň 2 strany se protínají)
Vlastnosti Obvod mnohoúhelníku se vypočte jako součet délek všech jeho stran: , kde jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka. Obsah obecného mnohoúhelníku se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou:
Obsah mnohoúhelníku, jehož strany se nekříží, se dá spočítat Gaussovou metodou pro výpočet plochy či prostřednictvím L'Huillierových vzorců , kde jsou souřadnice vrcholů mnohoúhelníka, a splývají s a Součet vnitřních úhlů -úhelníku je roven (výsledek v radiánech nebo stupních):
nebo
Počet úhlopříček obecného -úhelníku určuje vztah:
Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice). Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na () trojúhelníků.
Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku
Velikost vnitřního úhlu pravidelného -úhelníku má hodnotu (v radiánech)
Velikost středového, případně vnějšího úhlu je rovna
Pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Středy obou kružnic leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku. Označí-li se délka strany pravidelného -úhelníku jako a poloměr kružnice opsané jako , pak poloměr kružnice vepsané lze určit ze vztahu
Obsah pravidelného -úhelníku lze určit jako
Pravidelný -úhelník má os souměrnosti a pro sudé i střed souměrnosti.
Tabulka mnohoúhelníků Tabulka obsahuje seznam mnohoúhelníků s názvy v češtině a v cizích slovech.
Počet úhlů Cizím slovem v češtině 3 trigon trojúhelník 4tetragon čtyřúhelník 5pentagon pětiúhelník 6 hexagon šestiúhelník 7heptagon sedmiúhelník 8oktagon osmiúhelník 9nonagon devítiúhelník 10dekagon desetiúhelník 11hendekagon jedenáctiúhelník 12 dodekagon dvanáctiúhelník 13triskaidekagon třináctiúhelník 14tetradekagon čtrnáctiúhelník 15 pentadekagon patnáctiúhelník 20ikosagon dvacetiúhelník 100 hektagon stoúhelník 1000 kiliagon tisíciúhelník 10000 myriagon desetitisíciúhelník
Reference
Literatura Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, , str. 98 Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, , str. 31-33 Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, , str. 14-16
Související články Geometrický útvar Planimetrie Mnohostěn
Externí odkazy
Kategorie:Obrazce