vignette|Plaque représentant les équations de Maxwell au pied de la statue en hommage à James Clerk Maxwell d'Édimbourg. Les équations de Maxwell, nommées d'après le physicien écossais James Clerk Maxwell, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent, avec l'expression de la force électromagnétique de Hendrik Lorentz, les postulats de base de l'électromagnétisme.
Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Michael Faraday dans les années 1830.
Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique-magnétique étant une vue de l'esprit. Elles mettent aussi en évidence les équations d'ondes qui décrivent la propagation des ondes électromagnétiques.
Les solutions générales des équations de Maxwell sont données par les équations de Panofsky-Phillips ainsi que par les équations de Jefimenko, qui permettent toutes deux d'exprimer directement les champs électrique et magnétique en fonction de leurs sources physiques (à savoir des densités de charge et de courant électrique pouvant varier au cours du temps).
Dans sa forme moderne, le champ électromagnétique est représenté par un objet mathématique unique, le tenseur électromagnétique, dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et d'autres à celles du champ magnétique.
Principes généraux Les équations de Maxwell font intervenir les grandeurs suivantes : le champ électrique, noté ; le champ (d'induction) magnétique, noté ; la densité (volumique) de charge électrique, notée ; la densité (volumique) de courant électrique, notée ; deux constantes dimensionnées dont l'introduction est nécessaire pour assurer l'homogénéité des équations, à savoir : la permittivité (diélectrique) du vide, notée ; la perméabilité (magnétique) du vide, notée .
Dans leur forme traditionnelle, les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre et couplées : +Les équations de MaxwellNomEnoncésMaxwell-GaussMaxwell-Thomson (parfois Maxwell-Flux)Maxwell-FaradayMaxwell-Ampère l'équation de Maxwell-Gauss reliée au théorème de Gauss en électrostatique, décrit comment un champ électrique est engendré par des charges électriques : le champ électrique est orienté des charges positives vers les charges négatives. Plus précisément, cette loi relie le flux électrique à travers n'importe quelle surface de Gauss fermée avec la charge électrique contenue dans le volume délimité par cette surface ; l'équation de Maxwell-Thomson
reliée au théorème de Gauss en magnétostatique, énonce qu'il n'existe aucune « charge magnétique » (ou monopôle magnétique) analogue à une charge électrique. Au contraire, le champ magnétique est engendré par une configuration nommée dipôle, qui n'a pas de charge magnétique mais regroupe une charge positive et une charge négative reliées entre elles et inséparables. À titre d'exemple, cela permet de montrer que le flux magnétique total à travers n'importe quelle surface fermée est nul, ou que le champ magnétique est un champ solénoïdal ; l'équation de Maxwell-Faradayreliée à la loi d'induction de Faraday, décrit comment la variation d'un champ magnétique peut créer (induire) un champ électrique (le champ de Neumann). Ce courant induit est utilisé dans de nombreux générateurs électriques : un aimant en rotation crée un champ magnétique en mouvement, qui engendre un champ électrique dans un fil conducteur à proximitéL'équation de Maxwell-Faraday est légèrement différente de l'équation proposée initialement par Michael Faraday. Les deux versions sont toutes deux des lois correctes de la physique mais elles ont une portée différente, par exemple selon qu'on considère ou non la force de Lorentz, provoquée par le champ électromagnétique, qui agit sur les charges. Voir la loi de Lenz-Faraday pour plus de détails. ; l'équation de Maxwell-Ampère reliée au théorème d'Ampère en régime variable, énonce que les champs magnétiques peuvent être engendrés de deux manières : par les courants électriques (c'est le théorème d'Ampère) et par la variation d'un champ électrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi).
Cette « correction » de Maxwell du théorème d'Ampère est particulièrement importante : elle signifie que la variation d'un champ magnétique crée un champ électrique, et que la variation d'un champ électrique crée un champ magnétique. Par conséquent, ces équations permettent la circulation d'ondes électromagnétiques autoentretenues, ou « rayonnement électromagnétique ».
La vitesse de propagation calculée pour les ondes électromagnétiques, qui pourrait être prédite par des expériences sur les charges et les courantsAvec la terminologie actuelle : la constante électrique peut être estimée en mesurant la force reliant deux charges et en utilisant la loi de Coulomb ; la constante magnétique peut être estimée en mesurant la force reliant deux conducteurs chargés électriquement et en utilisant la loi d'Ampère. Le produit de ces deux valeurs élevé à la puissance (-1/2) est la vitesse du rayonnement électromagnétique telle que prédite par les équations de Maxwell, en mètres par seconde., est exactement la vitesse de la lumière. En effet, la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique (tout comme les rayons X, les ondes radio, etc.). Maxwell avait compris la relation entre le rayonnement électromagnétique et la lumière en 1864, unifiant ainsi deux domaines jusqu'ici disjoints : celui de l'électromagnétisme et celui de l'optique.
Aspects historiques L'apport de Maxwell Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction…). Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le courant de déplacement, dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.
Maxwell a d'abord publié en 1865 sa théorie sous la forme de vingt équations à vingt inconnues, écrites à l'aide de quaternions. En 1873, dans l'ouvrage en deux volumes , Maxwell a déjà réécrit sa théorie sous la forme de huit équations. Ce n'est que plus tard, en 1884, qu'Oliver Heaviside réécrivit ces équations sous la forme des quatre équations vectorielles et scalaires aux dérivées partielles que l'on connaît maintenant André Waser, « » , publié le 28 juin 2000..
Mathématiques modernes Aujourd'hui, les quatre équations (vectorielles) de Maxwell se réduisent à seulement deux équations tensorielles, ou même à une seule équation multivectorielle en algèbre géométrique.
Les héritiers de Maxwell La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la physique moderne :
la théorie de la relativité restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique éther). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant…) a des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité restreinte. Si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la transformation de Lorentz. Einstein dans son article fondateur de la relativité restreinte (1905), en considérant la constance de la vitesse de la lumière quel que soit le référentiel galiléen, déduit les transformations de Lorentz par des considérations purement physiques. Il montre que la force magnétique qui agit sur un électron n'est qu'un effet relativiste de la force électrique qui agit sur l'électron vu depuis le référentiel au repos avec lui. la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photoélectrique, donna naissance à la théorie quantique en 1900.
Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude.
La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) est discutée en détail dans Électrodynamique des milieux continus.
On note :
la densité volumique de charge électrique au point à l'instant (en dans le SI) ; le vecteur densité de courant (en dans le SI) ; le vecteur champ électrique (en dans le SI) ; le champ magnétique (en dans le SI) ; la permittivité diélectrique du vide (en dans le SI) ; la perméabilité magnétique du vide (en dans le SI).
Équation de Maxwell-Gauss L'équation locale de Maxwell Dans cette équation, on utilisera l'opérateur nabla, noté : , dont on peut écrire l'expression en coordonnées cartésiennes avec Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique :Cette équation correspond à un «terme de source» : la densité de charge électrique est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle fixée à l'origine , la loi de Coulomb donnant le champ électrostatique en un point de l'espace, point repéré par le vecteur position où est le vecteur unitaire radial, et qui s'écrit :Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique, soitoù est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions.
Le théorème de Gauss Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss. Il affirme que le flux du champ électrique permanent à travers une surface de Gauss fermée , orientée selon la normale sortante, est égale au rapport de la charge contenue dans le volume délimité par la surface Pour calculer explicitement le champ électrique, le théorème de Gauss n'est utilisable que dans des cas simples, possédants une « haute » symétrie : symétries sphérique, cylindrique et plane. Il est alors possible de calculer explicitement le flux du champ à travers une surface de Gauss possédant la même symétrie. et de la permittivité du vide :On remarquera que l'équation de Maxwell-Gauss se retrouve facilement en appliquant le théorème d'Ostrogradski au théorème de Gauss et en prenant un volume infinitésimal.
Équation de Maxwell-Thomson Cette équation est aussi appelée équation de Maxwell-flux ; elle exprime que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul :
Cette équation est la forme intégrale de l'équation locale de Maxwell, et on passe de l'une à l'autre en appliquant le théorème d'Ostrogradski.
L'équation locale de Maxwell