thumb|Préparation d'une maquette dans un bassin d'essai.
L'analyse dimensionnelle est une méthode pratique permettant de vérifier l'homogénéité d'une formule physique à travers ses équations aux dimensions, c'est-à-dire la décomposition des grandeurs physiques qu'elle met en jeu en un produit de grandeurs de base : longueur, durée, masse, intensité électrique, irréductibles les unes aux autres.
L'analyse dimensionnelle repose sur le fait qu'on ne peut comparer ou ajouter que des grandeurs ayant la même dimension ; on peut ajouter une longueur à une autre, mais on ne peut pas dire qu'elle est supérieure, ou inférieure, à une masse. Intuitivement, une loi physique ne saurait changer, hormis dans la valeur numérique de ses constantes, au simple motif qu'on l'exprime dans d'autres unités. Le théorème de Vaschy-Buckingham le démontre mathématiquement.
En physique fondamentale, l'analyse dimensionnelle permet de déterminer a priori la forme d'une équation à partir d'hypothèses sur les grandeurs qui gouvernent l'état d'un système physique, avant qu'une théorie plus complète ne valide ces hypothèses. En science appliquée, elle est à la base de la modélisation par maquettes et de l'étude des effets d'échelle.
Généralités
Historique
L'origine de l'analyse dimensionnelle est débattue chez les historiens...
On cite généralement les mathématiciens Leonard EulerTraité sur la mécanique du solide, 1765 apud et Joseph FourierThéorie analytique de la chaleur, 1822 apud et le physicien RayleighTheory of sound, 1877 apud comme y ayant fait d'importantes contributions, en partant de l'idée que des lois physiques comme ne devraient pas dépendre des unités employées pour mesurer les grandeurs physiques qui apparaissent dans la formule. Cette exigence amène à la conclusion qu'une loi physique doit former une équation « homogène » entre ces différentes unités ; résultat finalement formalisé avec le théorème de Vaschy-Buckingham. Mais la première application d'une analyse dimensionnelle semble être due au mathématicien savoyard François Daviet de Foncenex (1734–1799), dans un ouvrage publié en 1761, soit 61 ans avant les travaux de Fourier.
En tout cas James Clerk Maxwell établit l'approche moderne de l'analyse dimensionnelle, en posant que la masse, la longueur et le temps étaient des unités fondamentales, et en qualifiant les autres de « dérivées ».
L'analyse dimensionnelle permet aussi de déduire la forme que doit avoir la relation entre les quantités physiques qui interviennent dans un phénomène que l'on cherche à comprendre et à caractériser. Rayleigh semble l'avoir utilisée dans ce sens le premier, en 1872, en cherchant à expliquer pourquoi le ciel est bleu. Rayleigh publia sa méthode en 1877, dans son livre sur la théorie du son..
C'est dans son ouvrage Théorie de la Chaleur que Joseph Fourier introduit la « dimension », qu'à l'origine il assimile aux valeurs numériques que prennent les exposants des unités de base. Pour lui, par exemple, l'accélération est donc de par rapport à l'unité de longueur, et de par rapport à l'unité de temps. Pour Maxwell, la « dimension » de l'accélération est toute l'expression , et non la série des exposants ; c'est cette terminologie qui est utilisée aujourd'hui.
Modélisations
thumb|Ludwig Prandtl, l'un des pères de la mécanique des fluides, devant son modèle de canal d'écoulement « à main » (1904).
Dès la fin du et le début du , avec l'étude plus approfondie des propriétés des fluides et des corps en mouvement dans les fluides, des physiciens comme Ludwig Prandtl, Theodore von Kármán, , Johann Nikuradse et Rayleigh ont utilisé l'analyse dimensionnelle pour reproduire en laboratoire et dans des conditions contrôlables le comportement de phénomènes physiques, mais avec des vitesses ou des densités différentes, en se fondant sur les lois de similitude applicables à des maquettes d'échelles différentes. Ce principe de similitude, qui permet d'étudier des phénomènes physiques à des échelles différentes, est la base de la théorie de la similitude, aussi appelée théorie du modèle.
L'analyse dimensionnelle est en effet sous-jacente à la modélisation et la similitude. Le théorème de Vaschy-Buckingham montre que pour toute formule physique où interviennent variables dimensionnelles indépendantes, dépendant de unités fondamentales, la formule peut se transformer en une formule équivalente dépendant de n-k variables sans dimension se déduisant des variables initiales. Cette transformation permet d'appliquer la même loi, et donc de reproduire le même phénomène, à des échelles différentes, du moment que ces nombres sans dimension sont identiques dans les deux cas. Dans un cas particulier important, lorsque , il n'y a pas de variable libre sans dimension, et le théorème implique que l'expression sans dimension que les variables peuvent former est constante pour le phénomène considéré.
Inversement, dans l'étude d'un phénomène physique, il n'est nécessaire d'étudier le comportement du système que lorsque ces variables sans dimension varient, le reste s'en déduisant par proportionnalité. Une analyse dimensionnelle permet alors de dégager les variables pertinentes pour l'étude du phénomène considéré, ce qui demande un bon sens de la réalité physique, mais permet ensuite de limiter le plan d'expérimentation à ces seules dimensions. Tous les graphiques de résultats où les axes sont des nombres sans dimension découlent d'une analyse dimensionnelle.
Applications
L'analyse dimensionnelle peut trouver des applications dans de nombreux problèmes, en particulier pour déterminer des nombres sans dimension intervenant dans les phénomènes physiques, qui permettent de modéliser le phénomène par des maquettes, ou encore pour déterminer a priori des effets d'échelle. On la retrouve par exemple dans les domaines suivants : l'aérodynamique, pour les caractéristiques aérodynamiques des avions, et plus généralement le comportement des corps dans un fluide en mouvement (optimisation de ponts suspendus) ; résistance à l'écoulement et chute de pression dans l'écoulement d'un fluide à travers des tuyaux ; formation des vagues et leur propagation, dans diverses interfaces ; diffusion et transport de chaleur ; détonique, étude des détonations et de leurs effets ; tests de résistance de matériau et essais de collision ; maquettage de l'effet des tremblements de terre (par exemple pour les immeubles de grande hauteur) ; vieillissement et tassements dans les sols, pour l'étude des fondations des bâtiments, ou les glissements de terrain et les avalanches ; hydraulique des canaux, transport de sédiments dans les rivières ; en médecine et en biologie, effet d'échelle en bionique, développement de la circulation sanguine ou croissance de la plante.
L'analyse dimensionnelle de ces phénomènes fournit d'utiles règles de proportionnalité. Elle permet de spécifier l'étalonnage des modèles expérimentaux, et de guider les études de variation. Dans de nombreux cas, elle permet d'identifier des dépendances fonctionnelles. Dans tous les cas, elle contribue à une meilleure compréhension du problème.
L'analyse dimensionnelle est à la base des systèmes d'unités naturelles.
Mesures, unités et dimensions
Formules homogènes
Dans une formule physique, les variables présentes ne sont pas « que » des nombres, mais représentent des grandeurs physiques.
Une grandeur physique est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (comme le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)… sont des grandeurs physiques. Une mesure physique exprime la valeur d'une grandeur physique par son rapport avec une grandeur constante de même espèce prise comme unité de mesure de référence (étalon ou unité).
On exprime alors la grandeur par un nombre rationnel multipliant l'unité de mesure. De ce fait, les opérations entre grandeurs physiques ne portent pas que sur les nombres, mais également sur les unités. Ces unités présentes dans les formules physiques contraignent la forme que peuvent prendre ces formules, parce que certaines opérations possibles sur de simples nombres deviennent impossibles quand ces nombres sont associés à des unités. Ces contraintes sont celles qui font qu'une formule physique est qualifiée d'« homogène » : la multiplication (ou la division) est possible entre toutes unités, ou avec des constantes sans dimension, mais c'est pratiquement la seule opération permise sans restriction ; la multiplication ou la division de grandeurs physiques est également possible, et porte à la fois sur les valeurs numériques et sur les unités de ces grandeurs ; l'addition (ou la soustraction) de grandeurs physiques de nature différente n'a pas de sens ; l'addition ou la soustraction de grandeurs physiques de même nature est possible à condition de les exprimer avec la même unité (cf. section suivante) ; à l'exception de l'élévation à une puissance (une généralisation de la multiplication et de la division), une fonction mathématique (comme le sinus ou l'exponentielle) ne peut porter que sur des nombres « purs », sans dimension.
Un tel contrôle est automatisable. Dès 1976, Michel Sintzoff remarquait qu'on peut renforcer la fiabilité des programmes de calculs en physique, en déclarant les variables physiques en tant que telles, et en codant leur dimension par la suite des exposants relatifs aux dimensions de base prises dans un ordre fixe. Il est alors possible de vérifier à la compilation leur homogénéité dimensionnelle par évaluation symbolique.. Pour cela, on remarque notamment que : les dimensions des diverses grandeurs forment un groupe multiplicatif ayant pour générateurs les dimensions de base ; l'addition, la soustraction, les combinaisons min/max, l'affectation de grandeurs supposent opérandes et résultats de même dimension ; la dimension du résultat du produit (resp. quotient) de deux grandeurs est le produit (resp. quotient) de leurs dimensions.
Unités de même nature Si l'addition d'unités n'a pas de sens, celle de grandeurs physiques de même nature reste possible, à condition toutefois de les ramener à une unité commune.
Remarque : le « facteur de conversion » des températures a une référence absolue, le zéro absolu. Les échelles usuelles de température, degré Celsius comme degré Fahrenheit, partent de zéros différents, si bien que la conversion d'une unité dans une autre est une transformation affine, au lieu d'être une proportionnalité. C'est pourquoi il ne peut y avoir de facteur de conversion qu'entre écarts de température. Les formules physiques expriment la température en kelvins.
La « nature » et l'unité
+Anatomie d'une grandeur physique : Mesure Nombre mesuré Rapport de la grandeur à la référence. Facteur de conversion Nombre constant conventionnel Reflète le caractère arbitraire de l'unité pratique. Grandeur Nature physique propre Unité naturelle ?
Une « unité de mesure » est une grandeur physique qui permet d'exprimer la valeur d'une mesure physique par son rapport avec une grandeur constante de même espèce. Ainsi, si l'« heure » est une unité de mesure du temps, c'est parce que l'on peut comparer des grandeurs temporelles avec la grandeur particulière qu'est « une heure » : toute mesure physique ne fait qu'évaluer un rapport entre deux grandeurs de même nature.
Ces unités de mesure sont elles-mêmes des grandeurs physiques mesurables, donc un nombre associé à une unité, et prendre « une heure » ou « une minute » comme référence est fondamentalement un choix arbitraire. Le caractère arbitraire de ce choix peut être frustrant, parce qu'il ne permet pas de capturer ce qu'est la « nature » d'une unité : bien qu'une mesure soit un nombre associé à une unité (laquelle donne donc à cette mesure sa nature), on ne peut en réalité que faire des rapports, et accéder à des nombres sans dimension.