En physique, la quantité de mouvement est le produit de la masse par le vecteur vitesse d'un corps matériel supposé ponctuel. Il s'agit donc d'une grandeur vectorielle, définie par , qui dépend du référentiel d'étudeVoir notamment Perez, Cours de physique : mécanique - , Masson, Paris, 2001.. Par additivité, il est possible de définir la quantité de mouvement d'un corps non ponctuel (ou système matériel), dont il est possible de démontrer qu'elle est égale à la quantité de mouvement de son centre d'inertie affecté de la masse totale du système, soit .
La notion de quantité de mouvement s'introduit naturellement en dynamique : la relation fondamentale de la dynamique exprime le fait que l'action d'une force extérieure sur un système conduit à une variation de sa quantité de mouvement : . Par ailleurs elle fait partie, avec l'énergie, des grandeurs qui se conservent pour un système isolé, c'est-à-dire soumis à aucune action extérieure, ou si celles-ci sont négligeables ou se compensent. Cette propriété est utilisée notamment en théorie des collisions.
En mécanique analytique ou quantique la quantité de mouvement apparaît naturellement comme la grandeur liée à l'invariance du hamiltonien ou du lagrangien dans une translation d'espace, c'est-à-dire à la propriété d'homogénéité de l'espace, qui est effectivement vérifiée en l'absence de forces ou champs extérieurs. Sur un plan plus général il s'agit d'une des conséquences du théorème de Noether qui permet de relier symétrie continue d'un système et lois de conservation.
La notion d'impulsion ou moment linéaire généralise en mécanique analytique celle de quantité de mouvement, en tant que moment conjugué des coordonnées cartésiennes , soit . Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas. Néanmoins ces deux grandeurs sont distinctes, tome , 1977, , B, .Voir également en mécanique classique et .. L'impulsion coïncide avec la quantité de mouvement lorsque les forces appliquées à la particule dérivent d'une énergie potentielle. L'analogue « angulaire » du moment linéaire est le moment angulaire généralement confondu avec le moment cinétiqueAinsi pour une particule libre de masse en coordonnées sphériques, le lagrangien est donné par , et les moments conjugués sont donc , et . Seul , qui est le moment conjugué d'une variable linéaire, coïncide avec une quantité de mouvement (ici composante radiale), les deux autres moments conjugués de variables angulaires coïncident eux avec les deux composantes du moment cinétique de la particule, appelé parfois aussi pour cette raison moment angulaire..
Il est aussi possible de définir la quantité de mouvement, plus souvent alors appelée impulsion, pour le champ électromagnétique. Le plus souvent, il est fait référence à la densité volumique d'impulsion du champ donnée par .
En mécanique relativiste, les notions de quantité de mouvement et d'énergie sont liées par l'introduction du quadrivecteur énergie-impulsion , où est le facteur de Lorentz.
En mécanique quantique, la quantité de mouvement est définie comme un « opérateur vectoriel », c'est-à-dire comme un ensemble de trois opérateurs (un par composante spatiale) qui respectent certaines relations de commutation (dites canoniques) avec les composantes de l'opérateur de position.
Histoire
Système aristotélicien
On trouve une première formulation de la quantité de mouvement chez Jean Buridan (1292 - 1363), dans ses Questiones sur la physique d'Aristote : Limpetus implanté augmente dans le même rapport que la vitesse. Quand un déménageur met un corps en mouvement, il y implante un certain impetus. C'est une certaine force qui permet au corps de se déplacer dans la direction dans laquelle le déménageur démarre ce mouvement, qu'il soit vers le haut, vers le bas, vers le côté ou en cercle. C'est à cause de cet impetus, dit-il, qu'une pierre se déplace après que le lanceur a cessé de la déplacer. Mais en raison de la résistance de l'air (et aussi de la gravité de la pierre) qui s'efforce de la déplacer dans le sens inverse du mouvement causé par limpetus, celui-ci faiblira tout le temps. Par conséquent, le mouvement de la pierre sera progressivement plus lent et, finalement, l'impulsion est tellement diminuée ou détruite que la gravité de la pierre prévaut et déplace la pierre vers son lieu naturel. On peut, dit-il, accepter cette explication parce que les autres explications s'avèrent fausses alors que tous les phénomènes sont d'accord avec celle-ci. L'impulsion implantée, on notera, est causée par la vitesse et supposée proportionnelle à celle-ci. Ailleurs, Buridan l'a considérée comme proportionnelle au poids du corps. Dans les unités correctement choisies. L'expression reproduite par l'historien des sciences Olaf Pedersen, donne un sens précis à limpetus, un concept qui était auparavant assez vague. Du point de vue formel, ce nouveau concept en dynamique est égal à la quantité de mouvement de la physique classique, mais en réalité, les deux sont très différents parce qu'ils jouent différentes parties dans leurs théories dynamiques respectives. Le point important est que dans son sens médiéval, le mot impetus est une force avec le même statut physique que la gravité, la légèreté, le magnétisme Néanmoins, la théorie pourrait bien avoir préparé la voie à la notion d'inertie Olaf Pedersen. Early Physics and Astronomy: A Historical Introduction. CUP Archive, 11 mars 1993. Page 210 qui le remplacera définitivement au .
Galilée et Descartes
Dans le de Galilée, la conservation du mouvement, pourtant pleinement reconnue et utilisée, intervient seulement au cours de l’exposé. René Descartes, mesurant toute sa portée, l’introduit comme une « loi de la nature » au seuil de sa philosophie naturelle. Toutefois le domaine d’application du système de Descartes reste la cosmologie philosophique. Il n'a pas la qualité d’une proposition scientifique, intrinsèquement liée aux conditions qu’exige une théorie géométrisée du mouvement. Par son association avec le concept d’une matière en soi indifférente au repos et au mouvement, Galilée est le précurseur direct du principe classique d’inertie, ouvrant la voie à une première théorie mathématisée du mouvement dont les résultats passeront intégralement dans la synthèse newtonienneClavelin Maurice, « Galilée et Descartes sur la conservation du mouvement acquis », Dix-septième siècle, 1/2009 (), . (lire en ligne)..
Unités L'unité SI de quantité de mouvement est le kilogramme mètre par seconde , équivalent au newton seconde ().
L'unité dans le système d'unités anglo-saxonnes est la livre-force seconde () : = . C'est la confusion entre ces deux unités, métrique et anglo-saxonne, qui a été la cause de la perte de la sonde martienne Mars Climate Orbiter le , la poussée des petites corrections de trajectoire pour satelliser la sonde ayant été sous-estimée d'un facteur ~4,5.
Mécanique classique Définition en mécanique newtonienne En mécanique classique, la quantité de mouvement d'un point matériel de masse animé d'une vitesse dans un référentiel donné est définie comme produit de sa masse et de sa vitesse.. :
C'est donc, comme la vitesse, une grandeur vectorielle, dont l'unité SI est le kilogramme mètre par seconde ().
Cette grandeur est additive, ainsi pour un système matériel composé de N particules, la quantité de mouvement totale (ou résultante cinétique) du système est définie par : .
En introduisant le centre d'inertie C du système dont le vecteur position est par définition il vient aussitôt par dérivation la relation :
autrement dit la quantité de mouvement totale du système est égale à la quantité de mouvement de son centre d'inertie C affectée de la masse totale du système :
Cette relation est valable pour tout type de système matériel, déformable ou non.
En mécanique du solide, la quantité de mouvement est la résultante du torseur cinétique.
Quantité de mouvement et forces Relation fondamentale de la dynamique La relation fondamentale de la dynamique exprime le fait que l'action d'une force fait varier la quantité de mouvement du point matériel dans un référentiel galiléenPour un référentiel non galiléen, il faut considérer en plus des forces « réelles » agissant sur le point matériel, c'est-à-dire des forces liées à l'action d'un autre corps matériel sur le système, des forces dite d'inertie ou de repère, liées uniquement à son caractère non-inertiel, cf. notamment Perez, op. cit.. :
Cette relation se généralise aisément à un système matériel en ce qui concerne la quantité de mouvement totale du système, c'est-à-dire celle de son centre d'inertie C affecté de la masse totale du systèmeLa démonstration de ce résultat fait intervenir la loi de l'action et de la réaction ou troisième loi de Newton, cf. Perez, op. cit.Là encore, pour un référentiel non galiléen, il faut tenir compte de l'action des forces d'inertie. :
Ce résultat est le théorème de la résultante cinétique, ou théorème du centre d'inertie. Il montre que pour un système matériel, l'action des forces extérieures conduit à une variation de la quantité de mouvement du centre d'inertie du systèmeCe résultat est valable pour tous les systèmes matériels, et pas seulement pour les solides..
Conservation de la quantité de mouvement
thumb|L'effet du recul pousse le tube de ce canon de type Howitzer 105 mm M102 vers l'arrière.
En l'absence de forces extérieures, ou si leur résultante est nulle, la quantité de mouvement d'un système matériel est donc une constante du mouvement, puisque alors . En mécanique analytique cette loi de conservation peut être reliée à l'invariance par translation dans l'espace du Lagrangien, voir ci-après.
Une illustration classique de la conservation de la quantité de mouvement est fournie par le pendule de Newton, qui est souvent utilisé comme objet décoratif (cf. illustration ci-contre). Une bille à une extrémité est lâchée sans vitesse et acquiert une certaine quantité de mouvement, puis entre en collision avec les autres billes accolées. La bille à l'autre extrémité repart dans le même sens que la bille incidente, ayant acquis sa quantité de mouvement, qui se « transmet » à travers les billes accolées.
De façon générale, la conservation de la quantité de mouvement est très importante dans l'étude des chocs de particules ou de la désintégration (séparation en plusieurs parties) d'un système. En effet dans le cas d'un choc de deux (ou plus) corps matériel, la durée de l'interaction entre les corps est très brève et il est possible de négliger l'effet des interactions extérieures au système constitué par les corps en collision, dont la quantité de mouvement totale peut donc être considérée comme conservée. Il est important de souligner que l'énergie cinétique n'est en général pas conservée dans une collision, car il y a souvent changement de l'état interne des corps durant la collision : par exemple deux particules qui restent accolées au cours d'une collision, ce n'est que si la collision est élastique que l'énergie cinétique est conservée, en plus de la quantité de mouvement ( illustrations ci-contre).
Deux exemples classiques permettent d'illustrer l'application de la conservation de la quantité de mouvement dans l'étude des chocs ou de la désintégration d'un système : une boule de billard de masse m heurte de plein fouet (centres alignés) à la vitesse une autre boule de billard de masse m' , initialement immobile. La conservation de la quantité de mouvement globale du système {boule 1 + boule 2} pendant la durée très brève du choc implique : , soit , où est la variation de la vitesse de la première boule pendant le choc. Si le choc est de plein fouet alors et sont colinéaires et alors la deuxième boule part à la vitesse de valeur . À la limite il peut y avoir transfert de la totalité de la quantité de mouvement de la première boule sur la deuxième et alors .