Le principe de moindre action est le principe physique selon lequel la dynamique d'une quantité physique (la position, la vitesse et l'accélération d'une particule, ou les valeurs d'un champ en tout point de l'espace, et leurs variations) peut se déduire à partir d'une unique grandeur appelée action en supposant que les valeurs dynamiques permettent à l'action d'avoir une valeur optimale entre deux instants donnés (la valeur est minimale quand les deux instants sont assez proches).
La plupart des équations fondamentales de la physique peuvent être formulées à partir du principe de moindre action. C'est notamment le cas en mécanique classique, en électromagnétisme, en relativité générale et en théorie quantique des champs.
Formulation historique Maupertuis a défini ainsi le principe de la moindre quantité d'action pour la mécanique dans son mémoire sur lAccord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu’ici parues incompatibles publié dans les Mémoires de l'Académie de Sciences de Paris du - Formulation reprise dans :
Lorsqu’il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d’action, nécessaire pour ce changement, est la plus petite qui soit possible.
Ce principe révéla toute sa valeur grâce aux travaux qui par la suite ont montré que, contrairement à l'opinion métaphysique de Maupertuis, il s'agit d'un principe extrémal, maximo-minimum, et non d'un minimum absolu : travaux d'Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi et Helmholtz.
Antérieurement Leibniz avait introduit des idées semblables, dont la compréhension de ce qu'il s'agit d'un principe extrêmalVoir notamment : : « Mais l’Action n’est point ce que vous pensez : la considération du temps y entre ; elle est comme le produit de la masse par l’espace et la vitesse, ou du temps par la force vive. J’ai remarqué que, dans les modifications de mouvement, elle devient ordinairement un Maximum ou un Minimum : on en peut déduire plusieurs propositions de grande conséquence ». , 1697 (sur wikisource) : « ...il en est à peu près comme dans la Méthode de Formis Optimis, c’est-à-dire maximum aut minimum praestantibus, que nous avons introduite dans la Géométrie au-delà de l’ancienne méthode de maximis et minimis quantitatibus. ...au défaut du moindre, il faut se tenir au plus déterminé, qui pourra être le plus simple, lors même qu’il est le plus grand. », au point que Couturat va jusqu'à dire que ce principe de moindre action « est dû à Leibniz, et non à Maupertuis, à qui on l'attribue d'ordinaireCouturat, La logique de Leibniz, Paris, Alcan, 1901, p. 577 sq. (lire en ligne). - Voir aussi Colas Duflo, Leibniz : la finalité retrouvée, La finalité dans la nature, 1996, pp. 51-63 (lire en ligne). ». Sous-jacente était l'idée, très répandue au , que la nature obéit à un principe d'économie au sens de parcimonie. Ce que le principe de Fermat (1657) avait introduit en optique, en postulant que la lumière se propage d'un point à un autre de façon à minimiser son temps de trajet.
Méthode variationnelle et interprétations en physique classique
Présentation courante par l'action d'Euler-Lagrange
L'action se présente comme la sommation, le long du trajet du système, de la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. L'action du système vaut , où est le temps. La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle : les points extremum étant fixés, le temps de trajet aussi, on fait varier les trajetsTrajets en général deux fois dérivables par rapport aux coordonnées et au temps, si les contraintes physique s'y prêtent., et le ou les trajets physiquement admis sont ceux pour lesquels l'action est stationnaire par rapport aux variations infimes (du trajet).
Cette méthode aboutit aux équations d'Euler-Lagrange qui donnent des chemins sur lesquels l'action n'est pas toujours minimale par rapport aux autres proches et mathématiquement admissibles, mais sont parfois des points col : l'action est stationnaire pour les variations infinitésimales du trajet, et c'est un maximum pour certains types de variations, alors que c'est un minimum pour d'autres. Dans tous les cas ces chemins respectent les conditions physiques et sont donc réalistes. Toutefois, le long de chacun d'eux, si deux points sont assez proches (mesure faite par la longueur du chemin les séparant) alors on peut démontrer qu'entre eux ce trajet minimise l'action dans la méthode variationnelleClaude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac, Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, EDP-Sciences, 2002, chap. 3 (p.117-134) ainsi que les exercices E3.4 et E3.5, p. 144-145. , §2, note en bas de page., ce qui justifie le nom du principe.
On peut interpréter cela comme équivalent aux deux conditions suivantes :
la trajectoire que suit un corps est celle qui permet la transformation instantanée de l'énergie cinétique en énergie potentielle la plus petite possible (donc aussi la plus lente sur la trajectoire), ou la transformation immédiate de l'énergie potentielle en énergie cinétique la plus grande possible (donc la plus rapide possible sur la trajectoire) ; la transformation (et donc la trajectoire) est déterminée par les conditions initiales (position et vitesse) et les conditions de l'environnement physique : il doit y avoir continuité de la trajectoire s'il y a continuité du milieu physique.
Il y a parfois un échange cyclique entre ces deux énergies (balancier sans frottement, satellite à orbite elliptique…) ou une stabilisation provisoire (bille immobile ou posée au fond d'un trou, satellite à orbite circulaire).
La chute libre d'un corps est l'exemple type de la transformation de l'énergie potentielle (gravitationnelle) en énergie cinétique. Le ralentissement et l'arrêt (avant sa chute) d'un corps lancé verticalement sont un exemple de la transformation inverse.
Les frottements imposent une transformation plus compliquée car ils engendrent de la chaleur, qui est l'énergie cinétique des molécules des matériaux, mais en négligeant cette forme d'énergie, on peut utiliser le principe de moindre action en considérant que de l'énergie cinétique se perd (sort du système étudié). Par définition, les forces qui peuvent être prises en compte dans le principe de moindre action sont des forces conservatives, c'est-à-dire qu'elles dérivent d'une énergie potentielle ; c'est précisément cette énergie potentielle qui intervient dans le principe de moindre action. Dans le cas de forces non conservatives, comme c'est le cas des frottements, il faut modifier le principe de moindre action ou, de manière équivalente, les équations d'Euler-Lagrange en introduisant une fonction dissipatrice..
Autre présentation par l'action d'Hamilton-Jacobi
La définition de l'action de Maupertuis, comme , correspond à un champ conservatif où l'énergie totale est une constante, est aujourd'hui appelée . Cette action en un point de l'espace est égale à :
c'est-à-dire que la vitesse d'une particule ou d'un objet de masse au point est donnée par . :
Cela signifie que l'action réduite « pilote » la particule. En outre, l'action est un champ de potentiel, c'est-à-dire qu'une valeur est définie en tous points de l'espace (sur la figure ci-contre, plus la couleur est bleu clair, plus l'action est importante) ; par conséquent, le gradient de l'action définit un champ de vitesses (les flèches sur la figure ci-contre). L'action réduite ne définit pas seulement une trajectoire unique mais un flot de trajectoires qui sont orthogonales aux surfaces ; c'est-à-dire . Il suffit de donner une position initiale à une particule, alors sa trajectoire est donnée par le champ de vitesses.. Énergie totale constante Dans le cas où la particule est soumise à un potentiel indépendant du temps, , l'énergie totale est alors constante et l'action totale , fonction de la position et du temps , s'écrit en fonction de l'action réduite par la formule :
Énergie totale variable Dans le cas où la particule est soumise à un potentiel dépendant du temps, l'énergie totale n'est plus constante et l'action totale ne vérifie plus la formule précédente mais l'équation d'Hamilton-Jacobi :
avec la condition initiale :
où l'action initiale est l'action réduite qui définit le champ des vitesses initiales. Cette condition initiale de l'équation d'Hamilton-Jacobi est différente de celle de l'équation d'Euler-Lagrange qui ne définit que la position initiale. Cette action d'Hamilton-Jacobi généralise l'action réduite dans les cas où l'énergie totale est variable. En particulier, elle « pilote » la vitesse de la particule puisque son gradient définit le champ des vitesses en chaque point :
Un problème métaphysique ? La présentation courante du principe de moindre action utilise l'hypothèse de deux points fixes sur le parcours du mobile : un point de départ, mais aussi un point d'arrivée. Cela a souvent été critiqué comme étant l'utilisation dans le raisonnement d'une « cause finale », ce qui est contraire à la causalité, qui suit la flèche du temps en physique.
Cette hypothèse de connaissance a priori des extremums correspond à la formulation courante de l'action, qui aboutit aux équations d'Euler-Lagrange, où la position initiale à l'instant initial du système est connue, mais non la vitesse initiale . Elle ne sera connue qu'à la fin de la résolution des équations d'Euler-Lagrange, qui utilise la position finale à l'instant . Dans le cas d'une particule libre, cette vitesse initiale sera , qui dépend donc d'une cause finale, la valeur à l'instant . C'est la principale critique métaphysique qui a été faite au principe de moindre action, depuis sa création par Maupertuis.
Du point de vue des calculs, utiliser une cause finale (point d'arrivée) ne pose pas de problème car la vitesse initiale est, en pratique, connue et on peut souvent inverser le résultat des équations d'Euler-Lagrange et exprimer la position finale en fonction de la vitesse initiale, comme pour le cas de la particule libre : .
Cependant, du point de vue théorique, pour éviter d'avoir recours à la cause finale, il est nécessaire d'utiliser l'autre formulation avec les équations de Hamilton-Jacobi. En effet, on suppose, dans ce cas, que l'action d'Hamilton-Jacobi initiale est connue, et donc que la vitesse initiale de la position initiale est également connue et égale à .
Démonstration Avant Lagrange, ce principe se concevait à partir de considérations métaphysiques, indépendamment de tout autre principe physique.
Lagrange, en 1756, donna au principe de moindre action son expression mathématique efficace qui est toujours d'actualité. Il développa la mécanique analytique et démontra, dans son ouvrage de 1788, ce principe à partir du principe des vitesses virtuelles (nommé aussi principe de d'Alembert). Le principe des vitesses virtuelles exprime le principe fondamental de la dynamique de Newton en séparant les contraintes du système (limitation dans l'espace, rigidités) et les phénomènes subis par le système (phénomènes externes ou internes au système)On trouve la démonstration dans Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac, Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, EDP-Sciences, 2002 , chapitre 2..
Cette démonstration met un point final aux interrogations métaphysiques sur le principe de moindre action : le principe est équivalent à un principe physique de Newton, non sujet aux critiques métaphysiques, et la « cause finale » est alors comprise comme un artifice mathématique.
De l'action classique à l'action relativiste
Suivant le système étudié, et le cadre théorique dans lequel on le considère, l'expression mathématique du principe de moindre action change légèrement de forme.