Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que si est un nombre algébrique non nul (réel ou complexe), alors le nombre est transcendant.

Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann..

En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.

Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.

Énoncé de la contraposée Si est un nombre algébrique non nul différent de 1, toutes les déterminations de son logarithme complexe sont transcendantes.

En particulier, si et est algébrique (par exemple un entier ) , alors est transcendant.

Transcendance de et

En particulier, est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873, par Michel Waldschmidt. : c’est le théorème d’Hermite).

De même, , donc , sont transcendants puisque est algébrique.

L'approche originelle d'Hermite pour a été simplifiée et étendue à par David Hilbert (en 1893).., pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à la stratégie pour , des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle crucial.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de et , voir les références et les annexes.

Application aux fonctions sinus et cosinus On déduit du théorème d'Hermite-Lindemann la transcendance de tout nombre complexe non nul dont le sinus ou le cosinus est algébrique. En effet, compte tenu de la formule d'Euler , donnant , dès que ou est algébrique, est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre est transcendant donc aussi.

On en déduit par exemple que le nombre de Dottie, solution de est transcendant.

L'impossible quadrature du cercle

Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes (preuve de la transcendance de , accompagnée d'une référence bibliographique) (démonstration de la transcendance de et , puis du théorème de Lindemann-Weierstrass complet, tirée de et détaillée) Transcendance de et pour les nuls (mémoire de licence sous la direction d'Alain Prouté, Université Paris-Diderot)

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