vignette|redresse=1|Les quatre premières sommes partielles de la série de Fourier pour un signal carré.
vignette|redresse=1|Le premier graphe donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences.
En analyse mathématique, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.
Un signal périodique de fréquence et de forme quelconque peut être obtenu en ajoutant à une sinusoïde de fréquence (fondamentale) des sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de . Ces signaux ont des amplitudes et des positions de phase appropriées.
De même, on peut décomposer toute onde récurrente en une somme de sinusoïdes (fondamentale et harmoniques).
L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :
l'analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ; la synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l'aide de la suite de ses coefficients.
Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques. Des opérations telles que la dérivation s'écrivent simplement en partant des coefficients de Fourier. La construction d'une fonction périodique solution d'une équation fonctionnelle peut se ramener à la construction des coefficients de Fourier correspondants.
Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822, mais il a fallu un siècle pour que les analystes dégagent les outils d'étude adaptés : une théorie de l'intégrale pleinement satisfaisante et les premiers concepts de l'analyse fonctionnelle. Elles font encore actuellement l'objet de recherches actives pour elles-mêmes et ont suscité plusieurs branches nouvelles : analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes
Les séries de Fourier se rencontrent dans la décomposition de signaux périodiques, dans l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d'images
Préliminaire
Soient une fonction de dans et un réel strictement positif. On dit que est -périodique (ou périodique de période ) si :
S'il existe une plus petite période , elle est appelée la période de (et son inverse est appelé la fréquence de ).
Par exemple, si est un réel strictement positif, les fonctions sinusoïdales :
sont périodiques de période , et, à fortiori, -périodiques.
La somme, le produit ou le quotient de deux fonctions périodiques de période est encore une fonction périodique de période (mais la fonction n'est pas forcément de période fondamentale ).
Par ailleurs, l'intégrale entre et d'une fonction périodique de période ne dépend pas de l'origine . Aussi note-t-on l'intégrale de sur une période
Polynômes trigonométriques
Une combinaison linéaire de ces fonctions sinusoïdales élémentaires porte le nom de polynôme trigonométrique et constitue aussi une fonction -périodique. Elle peut se réécrire comme combinaison linéaire de fonctions :
L'emploi des nombres complexes et de la fonction exponentielle permet de simplifier les notations, grâce à la formule d'Euler :
Un polynôme trigonométrique s'écrit donc sous la forme :
où les coefficients sont presque tous nuls et peuvent être obtenus par la formule :
Principe des séries de Fourier
L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction -périodique, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :
avec les coefficients , appelés coefficients de Fourier de , définis par :
Il s'agit d'une somme infinie, c'est-à-dire d'une limite de somme finie, ce qui correspond au concept de somme de série.
De nombreux calculs se traduisent de façon très simple sur les coefficients des polynômes trigonométriques, comme le calcul de dérivée. Il est possible de les généraliser au niveau des coefficients de Fourier généraux.
Au sens strict, la formule de décomposition n'est pas correcte en général. Elle l'est, ponctuellement, sous de bonnes hypothèses de régularité portant sur . Alternativement, on peut lui donner sens en se plaçant dans les bons espaces fonctionnels.
Aspects historiques vignette|Portrait de Joseph Fourier, début du .
Les séries de Fourier constituent la branche la plus ancienne de l'analyse harmonique, mais n'en demeurent pas moins un domaine vivant, aux nombreuses questions ouvertes. L'étude de leurs particularités est allée de pair, pendant tout le , avec les progrès de la théorie de l'intégration.
Les origines
au début du chez Brook Taylor. C'est l'ouvrage de ce dernier, Methodus Incrementorum Directa et Inversa, paru en 1715, qui donne le coup d'envoi à l'étude systématique des cordes vibrantes et de la propagation du son, thème de recherche majeur pendant tout le siècle.
Une controverse éclate dans les années 1750 entre d'Alembert, Euler et Daniel Bernoulli sur le problème des cordes vibrantes. D'Alembert détermine l'équation d'onde et ses solutions analytiques. Bernoulli les obtient également, sous forme de décomposition en série trigonométrique. La controverse porte sur la nécessité de concilier ces points de vue avec les questions de régularité des solutions. Selon J.-P. Kahane, et suivantes., elle aura un rôle majeur dans la genèse des séries de Fourier.
Bernoulli avait introduit des séries trigonométriques dans le problème des cordes vibrantes pour superposer des solutions élémentaires.
Joseph Fourier introduit l'équation de la chaleur dans un premier mémoire en 1807Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, disparu depuis des archives de l'Institut et connu à travers un abrégé paru sous la signature de Siméon Denis Poisson dans le Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris, , , , mars 1808, Paris, Bernard. qu'il complète et présente en 1811 pour le Grand prix de mathématiques. Ces premiers travaux, controversés sur le plan de l'analyse, ne sont pas publiés. En 1822, Fourier expose les séries et la transformation de Fourier dans son traité Théorie analytique de la chaleur. Il énonce qu'une fonction peut être décomposée sous forme de série trigonométrique, et qu'il est facile de prouver la convergence de celle-ci. Il juge même toute hypothèse de continuité inutile..
En 1829, Dirichlet donne un premier énoncé correct de convergence limité aux fonctions périodiques continues par morceaux ne possédant qu'un nombre fini d'extrema. Dirichlet considérait que les autres cas s'y ramenaient ; l'erreur sera corrigée par Jordan en 1881.
En 1848, Henry Wilbraham est le premier à mettre en évidence le phénomène de Gibbs en s'intéressant au comportement des séries de Fourier au voisinage des points de discontinuité.
Avancée conjointe des séries de Fourier et de l'analyse réelle
Le Mémoire sur les séries trigonométriques de Bernhard Riemann, publié en 1867Œuvres de Riemann, , ., constitue une avancée décisive. L'auteur lève un obstacle majeur en définissant pour la première fois une théorie de l'intégration satisfaisante. Il démontre notamment que les coefficients de Fourier ont une limite nulle à l'infini, et un résultat de convergence connu comme le théorème de sommabilité de Riemann.
Georg Cantor publie une série d'articles sur les séries trigonométriques entre 1870 et 1872, où il démontre son théorème d'unicité. Cantor raffine ses résultats en recherchant des « ensembles d'unicité », pour lesquels son théorème reste vérifié. C'est l'origine de l'introduction de la théorie des ensembles.
En 1873, du Bois-Reymond donne le premier exemple de fonction continue périodique dont la série de Fourier diverge en un point.. Le dernier quart du voit relativement peu d'avancées dans le domaine des séries de Fourier ou de l'analyse réelle en général, alors que l'analyse complexe connaît une progression rapide.
Dans une note de 1900 et dans un article de 1904, Fejér démontre son théorème de convergence uniforme utilisant le procédé de sommation de Cesàro (moyenne arithmétique des sommes partielles de Fourier). Surtout, il dégage un principe nouveau : l'association systématique entre régularisation au moyen d'un « noyau » et procédé de sommation pour la série de Fourier.
De nouveaux outils d'étude
Henri Lebesgue donne à la théorie des séries de Fourier son cadre définitif en introduisant une nouvelle théorie de l'intégration. Dans une série de publications qui s'étalent de 1902 à 1910, il étend les théorèmes de ses prédécesseurs, notamment le théorème de Riemann sur la limite des séries de Fourier. Il prouve également plusieurs théorèmes de convergence nouveaux. La plupart de ses résultats figurent dans ses Leçons sur les séries trigonométriques publiées en 1906.
En 1907, Pierre Fatou démontre l'égalité de Parseval dans le cadre général des fonctions de carré sommable. La même année, Frigyes Riesz et Ernst Sigismund Fischer, de façon indépendante, prouvent la réciproque. Ces résultats participent à la naissance d'un domaine nouveau, l'analyse fonctionnelle.
Dorénavant, les questions de convergence dans les espaces fonctionnels sont envisagées à travers l'étude des propriétés des suites de noyaux et des opérateurs associés. Une grande partie des résultats passe par des questions d'estimation de normes appelées constantes de Lebesgue, qui deviennent un objet d'étude systématique.
Parallèlement, le problème de la convergence simple des séries de Fourier donne lieu à plusieurs coups de théâtre avec la publication de résultats qui ont connu un grand retentissement et surpris les contemporains. En 1926, Andreï Kolmogorov construit un exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partoutA. Kolmogorov, « Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout », C. R. Acad Sci. Paris, vol. 183, 1926, .. En 1966, Lennart Carleson établit au contraireVoir « Théorème de Carleson ». que la série de Fourier d'une fonction de carré sommable converge presque partout vers cette fonction. D'autres résultats (Kahane et Katznelson 1966, Hunt 1967) viennent compléter l'étude. Les recherches se portent ensuite sur la convergence des séries de Fourier à plusieurs dimensions, encore imparfaitement connue.
Coefficients de Fourier
La définition des coefficients de Fourier porte sur les fonctions périodiques intégrables au sens de Lebesgue sur une période. Pour une fonction périodique, être de classe implique l'intégrabilité. Ceci comprend en particulier les fonctions continues, ou continues par morceaux, périodiques. On reprend ici les notations du premier paragraphe.
Coefficients complexes
Les coefficients de Fourier (complexes) de (pour ) sont donnés par :
.
Par périodicité de l'intégrande, ces coefficients peuvent également être calculés en considérant l'intégrale sur n'importe quel segment de longueur . Le coefficient est la valeur moyenne de . En particulier, le coefficient n'est autre que la valeur moyenne de .
Si , on appelle harmonique de rang et note la fonction sinusoïdale de fréquence obtenue en tenant compte des coefficients de Fourier d'indice et , donnée par :
.
La série de Fourier, , est la série de fonctions obtenue en sommant les harmoniques successifs jusqu'au rang , soit :
ou encore :
.
Une des questions auxquelles répond la théorie de Fourier est de déterminer le mode de convergence de cette série (convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence quadratique…).
Coefficients réels Première convention