vignette|Une matrice carrée : une matrice de Weyr En mathématiques, une matrice carrée est une matrice avec autant de lignes que de colonnes.
Lorsque les coefficients sont pris dans un anneau unitaire , l’ensemble des matrices carrées de taille (c’est-à-dire avec lignes et colonnes) constitue également un anneau non commutatif, noté , dont la matrice identité est l’élément unité. L’ensemble des matrices diagonales constitue un sous-anneau isomorphe à .
En plus du rang et de la transposition existant sur toutes les matrices, chaque matrice carrée a une trace égale à la somme de ses éléments diagonaux.
Si est commutatif, l’anneau admet même une structure d’algèbre associative, munie de la forme multilinéaire du déterminant qui permet notamment de définir le polynôme caractéristique d’une matrice et de caractériser les matrices inversibles.
Si les coefficients sont pris dans un corps commutatif , les matrices de représentent les endomorphismes de ou de n’importe quel espace vectoriel sur de dimension muni d’une base. Leurs valeurs propres et vecteurs propres permettent d'en obtenir une forme réduite (voire une diagonalisation) par conjugaison avec une matrice inversible, ce qui facilite l’expression des puissances voire de leur exponentielle.
De multiples classes de matrices peuvent être définies parmi les matrices carrées, notamment lorsque les coefficients sont entiers, réels ou complexes : matrices triangulaires, symétriques ou antisymétriques, orthogonales, hermitiennes, unitaires… Différentes normes d’algèbre peuvent être définies pour enrichir la structure de ou .
Certains résultats peuvent s’exprimer dans le contexte plus large de coefficients pris dans un pseudo-anneau (anneau sans unité) ou un demi-anneau (sans symétrique pour la première loi, par exemple une algèbre de Boole).
Vocabulaire de forme Dans une matrice carrée, la taille décrit le nombre de lignes qui est égal au nombre de colonnes.
Les coefficients diagonaux sont ceux dont le numéro de ligne est égal au numéro de colonne. Lorsque la matrice est présentée comme un tableau, ils sont lisibles sur la diagonale principale qui rejoint le coin supérieur gauche au coin inférieur droit.
Les coefficients sur-diagonaux sont ceux dont le numéro de ligne est strictement inférieur au numéro de colonne et sont lisibles au-dessus de la diagonale principale. Les coefficients sous-diagonaux sont à l’inverse ceux dont le numéro de ligne est strictement supérieur au numéro de colonne, lisibles en dessous de la diagonale principale.
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls en dehors de la diagonale principale. On la note à l’aide de l’opérateur et la liste de ses coefficients diagonaux :
Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont les tous les coefficients diagonaux sont égaux. En particulier, la matrice identité (de taille ) est la matrice scalaire dont tous les coefficients diagonaux valent 1, notée ou .
Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients sous-diagonaux sont nuls. Une triangulaire inférieure a tous ses coefficients sur-diagonaux nuls.
Une matrice compagnon est une matrice dont les coefficients valent 1 juste sous la diagonale principale et sont nuls partout ailleurs (sauf éventuellement sur la dernière colonne).
Structure algébrique Addition et multiplication Si est un corps comme ℝ ou ℂ, ou plus généralement un anneau unitaire quelconque, et si un entier strictement positif, l’ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans est muni d’une opération d’addition des coefficients terme à terme, et d'une opération de multiplication interne induite par le produit matriciel. La matrice identité est neutre pour cette multiplication : pour toute matrice carrée de taille , .
Cette multiplication est associative et distributive par rapport à l’addition, mais même si est commutatif, dès lors que la multiplication des matrices carrées n’est pas commutative : il existe des matrices et telles que .
Plus formellement, l’addition et la multiplication induisent une structure d’anneau unitaire qui contient l’ensemble des matrices scalaires comme sous-anneau isomorphe à , et même l’ensemble des matrices diagonales comme sous-anneau isomorphe à .
Inverse
Les matrices carrées de même taille à coefficients dans un même anneau peuvent toutes être multipliées entre elles mais cela n’implique pas qu’on puisse diviser par une matrice. En effet, il est possible d’avoir une égalité avec des matrices carrées de même taille et non nulle sans que soit égal à .
Si deux matrices carrées et de même taille vérifient les égalités , on dit qu'elles sont inverses l'une de l'autre. Certaines matrices n’ont pas d’inverse, mais lorsqu’il en existe une elle est uniqueSi admet deux inverses et alors on a par associativité du produit matriciel . et dans ce cas on peut noter . À défaut de pouvoir diviser par , on peut alors multiplier par son inverse, ce qui permet de résoudre certaines équations linéaires
La détermination de l'inversibilité d'une matrice et le calcul de son inverse le cas échéant sont obtenus par des techniques spécifiques dépendant de la structure de l'anneau de coefficients, de la taille de la matrice et éventuellement le degré de précision souhaité.
L'ensemble des matrices inversibles dans forme un groupe appelé groupe linéaire et noté .
Multiplication scalaire La multiplication scalaire (à gauche ou à droite) d'une matrice par un élément de revient à multiplier (du même côté) par la matrice scalaire dont les coefficients diagonaux valent tous (et qui peut se noter ) : à gauche, ; à droite, . Si l’anneau de coefficients est commutatif, ou plus généralement si l’élément est central dans , les deux multiplications scalaires à gauche et à droite coïncident.
Réciproquement, si une matrice commute avec toutes les autres alors elle est de la forme avec central dans .
L’addition et la multiplication scalaire induisent une structure de -module (voire de bimodule) libre isomorphe à .
Si l'anneau est commutatif, ces opérations font de une -algèbre associative unitaire.
Puissances et polynômes Une matrice carrée peut être multipliée par elle-même et la répétition de ces multiplications définit la suite de ses puissances par récurrence :
Pour une même matrice , toutes ses puissances commutent entre elles.
Si l'anneau de coefficients est commutatif, par combinaison linéaire de ces puissances on peut définir n'importe quel polynôme de matrice avec et . Dans ce cas, tous les polynômes d'une même matrice commutent entre eux.
Plus généralement, si deux matrices commutent, tout polynôme de l'une commute avec tout polynôme de l'autre, et dans ce cas les identités remarquables du second degré usuelles sont satisfaites, ainsi que leurs généralisation pour des exposants supérieurs, qui sont la formule du binôme de Newton et la formule de Bernoulli. En particulier, puisque toute matrice commute avec une matrice scalaire :
Un polynôme annulateur d'une matrice est un polynôme tel que .
Si les coefficients sont pris dans un corps commutatif, l'ensemble des polynômes annulateurs est un idéal principal engendré par un polynôme appelé polynôme minimal (unique à multiplication près par un scalaire).
Représentation d'endomorphisme Toute matrice carrée représente un endomorphisme de -module à droite (voire d'espace vectoriel si est un corps) par
Réciproquement, tout endomorphisme de -module libre à droite est ainsi représenté par une matrice dont les colonnes correspondent aux images des éléments de la base canonique de la forme .
La multiplication matricielle traduit alors la composition des endomorphismes.
Une matrice carrée est idempotente (c'est-à-dire égale à son carré) si et seulement si elle représente un projecteur.
Elle est involutive (c'est-à-dire égale à sa propre inverse) si elle représente une symétrie vectorielle.
Une matrice carrée est dite nilpotente si l'une de ses puissances est la matrice nulle.
Similitude et invariants Matrices semblables Deux matrices et de sont dites semblables s'il existe une matrice inversible telle que . Cette relation de similitude définit une relation d'équivalence sur les matrices. Elle exprime le fait que les matrices et représentent le même endomorphisme de dans des bases différentes. La matrice correspond alors à une matrice de passage de la deuxième base vers la première.
Deux matrices semblables sont forcément équivalentes et ont donc le même rang (lorsque ce dernier est bien défini, par exemple si l'anneau de coefficients est commutatif ou noethérien) mais la réciproque est fausse en général.
La description d'un système complet d'invariants (caractérisant des matrices semblables) est plus délicate. On appelle ces invariants les invariants de similitude. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir théorème des facteurs invariants.
Opérateurs caractéristiques Dans toute cette section, l'anneau des coefficients sera supposé commutatif.
Trace La trace d'une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux : Si , . Cet opérateur linéaire a la particularité d'être invariant par interversion des facteurs d'un produit de deux matrices (qu'elles soient carrées ou rectangulaires) : .
Déterminant Le déterminant d'une matrice carrée peut être défini par une somme indexée par le groupe symétrique et utilisant la fonction signature des permutations sur l'ensemble :
La fonction déterminant est multiplicative, c'est-à-dire qu'elle vérifie pour toutes les matrices et : . En outre, le déterminant de l'identité vaut 1, donc une matrice inversible dans aura toujours un déterminant inversible dans avec . Réciproquement, toute matrice avec un déterminant inversible dans est inversible dans et son inverse peut s'écrire avec la transposée de la comatrice : .
Polynôme caractéristique Le déterminant permet de définir le polynôme caractéristique de degré et unitaire dans par
Ce polynôme est un invariant de similitude : si alors .
Par conséquent, tous ses coefficients sont également invariants, et en particulier son coefficient constant qui est (au signe près) le déterminant de la matrice et son coefficient sous-dominant (en degré ) qui est l'opposé de la trace.
Le polynôme caractéristique constitue aussi un polynôme annulateur de la matrice en vertu du théorème de Cayley-Hamilton.
Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres
Soit est une matrice carrée de taille à coefficients dans un anneau commutatif , avec un vecteur colonne non nulle de taille et dans . On dit que est un vecteur propre de pour la valeur propre si .
En particulier, cela signifie que le vecteur appartient au noyau de la matrice , qu'on appelle espace propre associé à la valeur propre , et qu'on note : .
Si est un corps commutatif, le noyau est non trivial si et seulement si le déterminant est égal à zéro, ce qui revient à dire que est une racine du polynôme caractéristique. Il y a donc au maximum valeurs propres, et chaque vecteur propre n'est associé qu'à une seule valeur propre. Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre et on montre même que les espaces propres sont en somme directe.
Sans cette hypothèse, le noyau est non trivial si et seulement si le déterminant est égal à zéro ou est un diviseur de zéronecessary and sufficient condition for trivial kernel of a matrix over a commutative ring sur Math Stack Exchange. Il peut exister plus de valeurs propres, et un même vecteur propre peut être associé à plusieurs valeurs propres. Par exemple, avec et , la matrice a 4 valeurs propres : 2 pour tous les vecteurs non nuls ; 5 pour les vecteurs 2 et 4 ; 0 et 4 pour le vecteur 3 uniquement.