vignette|Empilement compact de 8 cercles dans le carré noir, et disposition correspondante de 8 points les plus espacés possibles dans le carré bleu. En mathématiques récréatives, le problème de l'empilement de cercles dans un carré consiste à déterminer le plus petit carré permettant d'empiler des cercles de même rayon de façon compacte au nombre de . De manière équivalente, l'objectif est de disposer points dans un carré de sorte que la plus petite distance entre eux soit la plus grande possible.
Pour passer d'une formulations du problème à l'autre, notant le maximum de la plus petite distance entre deux points dans un carré de côté 1, le côté du carré minimal empilant des cercles de rayon égal à 1 est , ce qui donne .
Partant d'une répartition de points dans un carré de côté 1 dont la distance minimale est égal à , on obtient, en entourant chaque point d'un cercle de rayon , un empilement de cercles dans un carré de côté ; en effectuant un homothétie de rapport , on obtient un empilement de cercles unité dans un carré de côté .
Exemples de solutions Des solutions (démontrées optimales jusqu'à ) ont été calculées pour tout 10 000. Les solutions pour allant de 1 à 20 sont indiquées ci-dessous.
Lorsque est un carré parfait, l'empilement où les centres des cercles forment un réseau carré est optimal pour = 1, 4, 9, 16, 25 et 36 (les six premiers carrés non nuls), mais il cesse d'être optimal pour les carrés suivants, à partir de = 49.
Les densités sont à comparer à la densité maximale d'un empilement de cercles de mêmes rayons, obtenue pour l’empilement hexagonal, égale à .
Nombre de cercles () Longueur du côté du carré () Densité () Figure 1 2 ∞ ≈ 0,785 2 ≈ 3,414... ≈ 1,414 ≈ 0,539 85x85px 3 ≈ 3,931... ≈ 1,035 ≈ 0,610 85x85px 4 4 1 ≈ 0,785 85x85px 5 ≈ 4,828... ≈ 0,707 ≈ 0,674 85x85px 6 ≈ 5,328... ≈ 0,601 ≈ 0,664 85x85px 7 ≈ 5,732... ≈ 0,536 ≈ 0,669 85x85px 8 ≈ 5,863... ≈ 0,518 ≈ 0,731 85x85px 9 6 1/2 = 0,5 ≈ 0,785 85x85px 10 6,747... ≈ 0,421 ≈ 0,690 85x85px 11 7,022... ≈ 0,398 ≈ 0,701 85x85px 12 ≈ 0,738 85x85px 13 ≈ 0,733 85x85px 14 ≈ 7,732... ≈ 0,736 85x85px 15 ≈ 7,863... 0,341 ≈ 0,762 85x85px 16 8 1/3 ≈ 0,333 ≈ 0,785 85x85px 17 8,532... ≈ 0,306 ≈ 0,734 85x85px 18 ≈ 8,656... 0,300 ≈ 0,755 85x85px 19 8,907... ≈ 0,290 ≈ 0,752 85x85px 20 ≈ 8,978... 0,287 ≈ 0,779 85x85px
Références
Voir aussi
Empilement de cercles dans un cercle Empilement de cercles dans un triangle équilatéral Empilement de cercles dans un triangle rectangle isocèle Problème de Tammes (empilement de cercles sur une sphère)
Cercles Catégorie:Carré