En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un -fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.
Définition Soient : , un groupe de Lie ; , l'algèbre de Lie de ; , une variété différentielle ; , un -fibré principal sur ; , l'action de groupe à droite de sur ; , la représentation adjointe de sur son algèbre de Lie .
Définition Le fibré adjoint à est le fibré associé suivant :
Exemples de sections du fibré associé Toute transformation de jauge infinitésimale correspond à une 0-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ; Tout vecteur tangent de l'espace des formes de connexions correspond à une 1-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ; La 2-forme de courbure d'une forme de connexion est une 2-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.
Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint La représentation adjointe préserve le crochet de Lie :
Étant -équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :
Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :
Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint :
Références
1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.
Notes et références
Adjoint