Le principe de Huygens-Fresnel est une théorie ondulatoire (Fresnel disait vibratoire) de la lumière exposée par Augustin Fresnel dans son Mémoire sur la diffraction de la lumière soumis à l'Académie des Sciences de Paris en 1818. Dans ce mémoire, Fresnel a exploité les concepts exposés en 1690 par Christian Huygens dans son Traité de la lumière (chaque point du front d'onde est source d'ondelettes sphériques secondaires) et les a complétés avec le principe des interférences pour expliquer les phénomènes de propagation, diffraction et d'interférences lumineuses. Le terme même de Principe d'Huygens-Fresnel a été introduit vers 1870 par Gustav Kirchoff et Robert Bunsen..

Principe de Huygens

Huygens se décide en 1690 à publier son Traité de la lumière, écrit à Paris en 1678, avant son départ pour les Pays-Bas. Il adopte la théorie ondulatoire de la lumière proposée par Ignace-Gaston Pardies en France en opposition à la théorie d'Isaac Newton pour qui la lumière était formée de particules projetées par les corps incandescents.

Pour Huygens, la lumière se propage dans un milieu subtil qu'il nomme éther, milieu composé de particules rigides élastiques qui imprègne l'espace vide aussi bien que rempli d'air, de liquide ou de matière solide. La lumière a une vitesse très élevée mais finie. Ses démonstrations reposent sur la comparaison des temps de propagation avant et après que le faisceau lumineux ait frappé la surface de la matière réfléchissante ou transparente.

Propagation sphérique des ondes lumineuses

À la question , Huygens répond :

Ondelettes secondaires

200px|thumb|Fig.1-Propagation des ondes lumineuses selon Christian Huygens

L'ensemble des ondelettes issues de chaque point d'un front d'onde BG forme donc un nouveau front d'onde CE.

Mémoire de Fresnel Fresnel écrit, dans son manuscrit de 1818, que les mouvements communiqués aux molécules d'éther , c'est-à-dire dans le sens de la propagation, comme c'est le cas pour les ondes sonores. Cependant, en 1819, au moment de l'impression du mémoire, il ajoute en note : Les ondes lumineuses sont en effet transversales, perpendiculaires à la direction de propagation.

Vecteurs de Fresnel - Principe des interférences

La conception ondulatoire de la lumière promue par Huygens a été supplantée par la théorie de l'émission, ou théorie balistique, de Newton dont l'autorité a prévalu jusqu'au début du . Cependant, Léonhard Euler, au , avait affirmé explicitement que les ondulations lumineuses sont périodiques comme les vibrations sonores et que la cause des différences de coloration est au fond la même que la cause des différentes tonalités.. En 1801, un médecin anglais, Thomas Young, réinterprète, avec la théorie ondulatoire de Huygens, les expériences menées par Newton sur des lames minces. Il pose que, si la lumière est une onde, elle a une fréquence et une longueur d'onde mesurable par interférence. Il en déduit un tableau de correspondance entre les couleurs de la lumière et leurs longueurs d'onde Thomas Young, The Bakerian Lecture: On the Theory of Light and Colours, p.20..

En 1815, Fresnel, ignorant les travaux de Young, fait des expériences sur l'interférence des rayons lumineux et aboutit à des conclusions similaires. Il cherche alors l'expression mathématique qui permettrait de rendre compte de la superposition de deux ou de plusieurs ondes de même fréquence, issues de la même source ponctuelle et différant par la longueur du chemin parcouru pour arriver au point d'observation..

Fresnel pose l'équation du mouvement vibratoire en prenant en compte la longueur d'ondulation, c'est-à-dire la longueur d'onde, mais semble ignorer le terme de fréquence ().

Il pose :

Tout en restant au plus proche de son expression, on pose :

Dans le cas de deux ondes concourantes, Fresnel pose ensuite que . Ce qui veut dire qu'il propose de représenter les deux faisceaux lumineux par des vecteurs ayant chacun son amplitude propre et qui forment entre eux un angle égal à , étant la différence de marche du rayon 2 par rapport au rayon 1. Cette méthode de superposition de signaux sinusoïdaux est, depuis lors, connue sous le nom de Diagramme de Fresnel ou Représentation de Fresnel, faisant intervenir des vecteurs de Fresnel.

Soit deux systèmes d'ondes de même fréquence :

On peut écrire sous la forme :

La somme des deux systèmes d'ondes s'écrit :

En représentant les deux ondes par des vecteurs :

D représentant la différence de marche de l'onde résultante par rapport à l'onde de référence ().

Et en posant :

On peut écrire l'équation de l'onde résultante :

On peut calculer l'amplitude de l'onde résultante :

Et son déphasage par rapport à l'onde de référence :

Fresnel conclut : C'est-à-dire que : quand ou, de façon équivalente, , l'amplitude de l'onde résultante est : et elle est en phase avec l'onde de référence. quand ou, de façon équivalente, , l'amplitude de l'onde résultante est : et elle est soit en phase avec l'onde de référence si , soit en opposition de phase si . quand ou, de façon équivalente, , l'amplitude de l'onde résultante est : et son déphasage est donné par

Zones de Fresnel - Application du principe de Huygens

La résultante de deux ondes lumineuses peut être à nouveau superposée à une troisième onde et former une nouvelle onde résultante. On peut ainsi additionner un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses. . vignette|Fig.4-Zones de Fresnel vues depuis l'axe de propagation de la lumière. Toutes les zones sont d'égale surface. Dans son manuscrit soumis à l'Académie en 1818, Fresnel n'a étudié que les cas où la diffraction est provoquée par un objet rectiligne, soit un fil, soit le bord d'un écran, soit une fente. Lorsque Siméon Denis Poisson a examiné son travail, il a calculé le diagramme de diffraction que donnerait un petit écran circulaire et a trouvé qu'une tache lumineuse devrait exister au centre de l'ombre portée. Ce qui lui paraissait absurde. François Arago a fait l'expérience et a trouvé effectivement une tache lumineuse au centre de l'ombre, surnommée depuis « tache de Fresnel » ou « tache de Poisson ». Fresnel s'est alors intéressé à la diffraction par une ouverture ou un écran circulaire. Le résultat de son étude a été publié dans une note additionnelle à son travail originel. C'est dans cette note qu'il expose la démonstration qui suit, à l'aide des zones sphériques ou planes, désormais appelées zones de Fresnel..

Considérons le front d'onde AOB issu d'une source lumineuse ponctuelle S. D'après Huygens, chacun des points de cette surface sphérique est source de lumière diffractée dans toutes les directions. Pour étudier l'amplitude de l'onde lumineuse résultante des contributions des rayons diffractés au point P, Fresnel propose un schéma explicatif. Il représente le front d'onde incidente AOB, issue de la source ponctuelle S, et le divise en une calotte Z1 et une infinité de zones sphériques Z2, Z3, ..., Zn à l'aide de sphères centrées au point d'observation P et de rayons successifs égaux à , avec , la distance du point d'observation au front de l'onde incidente.

Il pose que la contribution de chaque zone au point P est proportionnelle à la surface de la zone et à un facteur d'inclinaison ou facteur d'obliquité K lié à l'angle (χ) que forment les rayons diffractés avec les rayons incidents. Ce que nous pouvons écrire :

On peut calculer que la calotte et les zones sphériques successives ont la même surface. D'autre part, comme elles sont très petites par rapport à la distance OP, on peut considérer que deux ou trois zones contiguës ont le même facteur d'inclinaison. Il en résulte que l'ensemble des rayons diffractés par deux zones mitoyennes sont d'intensités égales. Mais, étant en opposition de phase, leur superposition en P conduit à leur annihilation (, écrit Fresnel). Considérons les rayons lumineux R1, R2 et R3 qui délimitent respectivement les zones Z1 et Z2, Z2 et Z3, Z3 et Z4. Les ondes lumineuses qui suivent le trajet du rayon R3 sont en retard d'une longueur d'onde sur celles qui suivent le rayon R1 : elles sont en phase. Par contre, les ondes qui suivent le trajet du rayon R2 sont décalées d'une demi longueur d'onde, en retard sur R1, en avance sur R3. Elles sont en opposition de phase avec les ondes qui suivent R1 et R3. Lorsque toutes les ondes émises par tous les points des zones Z2 et Z3 se superposent en P elles s'annihilent.

Ainsi un écran occultant percé d'une pupille circulaire centrée en O et dont le diamètre égale celui de la zone Z2, laissera passer les rayons issus des zones Z1 et Z2. La superposition des ondes lumineuses de ces deux zones en opposition de phase provoquera une extinction complète au point P. En agrandissant progressivement le diamètre de la pupille, on démasquera successivement les zones Z4, Z5, etc. et on observera une alternance d'ombre et de lumière au point P.

Contribution des zones sphériques successives Fresnel considère que, pour rester pleinement en accord avec les expériences, il faut raisonner en termes de demi-zones, c'est-à-dire les zones définies par des rayons diffractés dont les longueurs diffèrent d'un quart de longueur d'onde.

En résumé, les rayons lumineux dont les amplitudes s'annihilent en se superposant appartiennent à 3 zones consécutives : une zone et les deux demi-zones qui l'encadrent. Si l'on définit dUn comme la contribution de la zone Zn à l'amplitude au point P, on a :

De cette façon, la somme des amplitudes résultant de la superposition des ondes au point P provenant de n zones de Fresnel est :

Tous les termes entre crochets sont nuls puisqu'ils correspondent à la somme de vibrations sinusoïdales de même fréquence sur une période ou sur une longueur d'onde. La somme des amplitudes résultantes revient donc à :

Dans le cas où un écran occultant muni d'une pupille circulaire centrée en O, est introduit perpendiculairement à l'axe SOP, le nombre de zones de Fresnel contributives à l'éclairement en P sera limité. L'amplitude résultante en P va dépendre de la parité du nombre de zones à travers lesquelles la lumière pourra diffracter.

Si le nombre de zones est pair, la n-ième zone va être en opposition de phase avec la zone Z1. Sa contribution se soustraira à celle de la zone Z1.

Si le nombre de zones est impair, la n-ième zone sera en phase avec la zone Z1. Sa contribution s'ajoutera à celle de la zone Z1.

La contribution de la n-ième zone, positive ou négative, variera comme , le cosinus de l'angle que forment rayons diffractés par rapport aux rayons incidents sur la zone Zn.

Propagation de la lumière en ligne droite

Si tous les rayons diffractés de l'onde sphérique en direction de P parviennent en P sans rencontrer d'obstacle, la dernière contribution à l'amplitude en P sera issue d'une zone pour laquelle l'angle est égal à (les derniers rayons seront tangents à la surface d'onde) et sera donc nulle. La lumière en P viendra donc exclusivement de la demie zone aOb au centre de la calotte sphérique Z1 (limitée par les rayons rouges sur la figure 3).

Ce qui revient à prouver que la lumière se propage effectivement en ligne droite selon l'axe SOP. On peut désormais répondre à l'interrogation de Huygens :

Contrairement à ce que supposait Huygens, la lumière se propage en ligne droite, non pas parce que les rayons venant d'une infinité d'endroits se croisent sans s'empêcher, mais bien parce que, sur l'écran ou l'oculaire au point d'observation, ils s'empêchent fortement : tous les rayons interfèrent et s'annihilent à l'exception de ceux qui se propagent en ligne droite entre la source et le point d'observation. Ce qui n'empêche pas de souligner la validité de la remarque : il est exact que, en dehors du point d'observation où la propagation de la lumière est interrompue par la mesure, les rayons venant d'une infinité d'endroits se croisent sans s'empêcher. Les ondes lumineuses de différentes couleurs et de différentes provenances se superposent dans l'espace.