vignette|350x350px| Cercle -mixtilinéaire inscrit dans un triangle

En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.

Existence et unicité On prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle est unique.

Soit la composée de l'inversion de pôle A et de rapport , et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A. échange les sommets B et C et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact, fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.

La même application appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique.

Construction On construit d'abord le centre inscrit par intersection des bissectrices. La droite passant par perpendiculaire à intersecte et aux points et respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire. Les perpendiculaires à et passant par les points et respectivement se croisent en un point noté , qui est le centre du cercle mixtilinéaire.

Cette construction est possible, avec le lemme suivant :

vignette|400x400px| Construction du cercle mixtilinéaire.|gauche

Quelques propriétés

Rayon La formule suivante relie le rayon du cercle inscrit et du rayon du cercle -mixtilinéaire d'un triangle :où est la mesure de l'angle en .

Relation aux points sur le cercle circonscrit

La droite coupe l'arc en son milieu. Le quadrilatère est harmonique, ce qui signifie que est une symédiane du triangle .

Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit et sont deux quadrilatères cycliques.

Relation entre les trois cercles mixtilinéaires

Les trois droites , et concourent en un point, son nombre de Kimberling est X(56). Il est défini par des coordonnées trilinéaires et coordonnées barycentriques .

Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point qui divise avec rapportoù sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit.

Voir aussi Cercle inscrit d'un triangle Problème des contacts

Références

Catégorie:Géométrie