En analyse fonctionnelle, le triplet de Gelfand (aussi triplet de Banach-Gelfand ou triade hilbertienne ou ) est un espace-triplet consistant en un espace de Hilbert , un espace vectoriel topologique et son dual topologique . L'espace est choisi tel que soit un sous-espace dense dans et que son inclusion soit continue. Cette construction a l'avantage que les éléments de peuvent être exprimés comme des éléments de l'espace dual en utilisant le théorème de représentation de Fréchet-Riesz.
Le triplet de Gelfand porte le nom de Israel Gelfand.
Definition Soit un espace de Hilbert séparable et un espace vectoriel topologique dense dans avec une inclusion continue. Soient et les espaces duals correspondants. La séparabilité de garantit l'existence d'un sous-espace dense dans .
Il découle de ces propriétés que l'inclusion dense suivante est vérifiée
où est identifié à . est appelé l'espace pivot.
Alors pour tout , on a :
où le côté droit désigne le crochet de dualité.
Le triplet est appelé triplet de Gelfand.
Dérivation de l'inclusion On peut montrer que est également dense et que l'inclusion est continue. Pour un et , on définit la paire duale
Pour chaque il existe une représentation de Riesz unique telle que
pour tout . On peut donc identifier et donc l'inclusion suit
et l’inclusion est continue.
Exemples Soient l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur (qui est un cas particulier d’espace ), l'espace de Schwartz et l'espace de distributions tempérées. Alors le triplet est un triplet de Gelfand. Soient les espaces de suites classiques. Alors le triplet est un triplet de Gelfand. On note l’espace de Kondratiev des fonctions tests stochastiques, l’espace du bruit blanc et ) l’espace de Kondratiev des distributions stochastiques. Alors forme un triplet de Gelfand. Soient des espaces de Triebel-Lizorkin. Alors le triplet est un triplet de Gelfand. Soient les espaces de Watanabe définis par et . Alors on obtient le triplet de Gelfand .
Références
Catégorie:Analyse fonctionnelle