Le livre I des Éléments d'Euclide pose certains des fondements pour la suite de l'ouvrage : il débute par des définitions, comme certains des autres livres des Éléments, mais c'est le seul à comporter des demandes, ou postulats, et des notions communes, ou axiomes. Il enchaîne 48 propositions de géométrie plane, dont certaines constructions géométriques, mais aussi les cas d'égalité des triangles, ou la somme des angles d'un triangle, et se termine par le théorème de Pythagore (ainsi qu'on le nomme aujourd'hui) et sa réciproque.
Le livre I est l'objet d'un commentaire détaillé écrit au par Proclus, qui nous est parvenu quasi intégralement.
Description Dans l'édition Heiberg-Menge (édition critique de référence depuis la fin du ), le livre I des Éléments contient : 23 définitions (sur les 130 qui apparaissent dans les Éléments)Caveing dans . ; 5 demandes, ou postulats (suivant la traduction latine ), certains manuscrits en ajoutent une ; 9 notions communes, ou axiomes, dont 4 contestées notent les 4 notions communes contestées entre crochets. ; 48 propositions. Si des définitions apparaissent dans plusieurs des livres suivant, les demandes et notions communes, n'apparaissent qu'au livre I. Les définitions Y sont définis le point, la droite (Euclide appelle « ligne droite limitée », ou simplement « ligne droite » ce que nous appellerions segment de droite, mais les droites d'Euclide peuvent aussi se prolonger, c'est la demande 2, et ce indéfiniment, et donc être considérées comment potentiellement infiniesVitrac dans .), les angles, le cercle, le triangle équilatéral, le triangle rectangle, le carré, les parallèles… La plupart sont détaillées ci-dessousLa numérotation adoptée est celle de l'édition , correspondant donc à celle de l'édition de référence dont elle est la traduction. Les traductions qui ne sont pas explicitement attribuées en note sont reprises de ..
Un point est ce dont il n'y a aucune partie. Une ligne est une longueur sans largeur. Les limites d’une ligne sont des points. Une ligne droite est celle qui est également placée entre ses points, l'article initial étant remplacé par l'article indéfini.. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. Les limites d’une surface sont des lignes. Une surface plane est celle qui est également placée entre ses droites. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction. Lorsque les lignes, qui comprennent ledit angle sont des droites, l'angle se nomme rectiligne. Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit ; et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit. Une frontière est ce qui est limite de quelque chose. Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs frontières. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence, toutes les droites menées à la circonférence d'un des points placé dans cette figure étant égales entre elles. Ce point se nomme le centre du cercle. Un diamètre du cercle est une droite menée par le centre et terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle : un diamètre partage le cercle en deux parties égales, l'article initial étant remplacé par l'article indéfini.. Un demi-cercle est la figure comprise par le diamètre, et la portion de la circonférence sous-tendue par le diamètre ; le centre du demi-cercle est le même que celui du cercleCette seconde phrase est absente de . Ce pourrait être un ajout postérieur à Proclus .. Les figures rectilignes sont les figures contenues par des droites ; trilatères celles qui sont contenues par trois droites ; quadrilatères par quatre ; multilatères par plus de quatreÀ partir de la définition 19, les numérotations de Heiberg-Menge et de Peyrard divergent. Peyrard intercale une définition d'un segment de cercle non retenue par Heiberg-Menge, et détaille des définitions regroupées en une seule par Heiberg-Menge. La définition 19 regroupe celles qui sont numérotées 20, 21, 22 et 23 dans Peyrard.. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux ; le triangle isocèle, celle qui a seulement deux côtés égaux ; le triangle scalène celle qui a ses trois côtés inégaux, définitions 24-26.. De plus parmi les figures trilatères, le triangle rectangle est celle qui a un angle droit ; le triangle obtusangle, celle qui a un angle obtus ; le triangle acutangle celle qui a 3 angles aigus, définitions 27-29.. Parmi les figures quadrilatères, le carré est celle qui est équilatérale et rectangulaire ; […], définition 30.La définition 22 correspond aux définitions 30-34 de .. Des droites parallèles sont celles qui étant dans le même plan, et indéfiniment prolongées de part et d'autre, ne se rencontrent pas, ni d'un côté ni de l'autreLa définition 23 correspond à la définition 35 de ..
La définition 22 introduit d'autres espèces de quadrilatères, toutes disjointes entre elles et du carré, définitions 31-34., avec un vocabulaire peu ou pas utilisé dans la suite qui n'a pas été reporté ici. Comme à ce stade les droites parallèles n'ont pas été définies, Euclide ne définit pas encore le parallélogramme, terme qui apparait pour la première fois à la proposition I.34 et qui, lui, est fréquemment utilisé dans les ÉlémentsVitrac dans .Caveing dans ., mais sans le définir explicitement, probablement parce qu'il se comprend de lui-même : « quadrilatère formé de lignes droites parallèles »Vitrac dans .. Le terme regroupe toutes les espèces introduites à la définition 22 (carré, rectangle non carré, losange, …), hormis le trapèze qui, chez Euclide, est un quadrilatère qui n'est pas un parallélogramme (caractérisation a posteriori !), ce qui est plus général que notre trapèze actuel.
Les demandes L'édition Heiberg-Menge donne les 5 demandes, ou postulats (selon la traduction latine du terme grec), que l'on trouve dans la majorité des manuscrits. Certains en ajoutent une 6, qui est la notion commune de l'édition Heiberg-Menge, très certainement interpolée. Qu'il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point. Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée. Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux. Et que, si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. La 1 demande n'explicite pas l'unicité de la droite menant d'un point à un point (c'est-à-dire pour nous un segment) mais celle-ci est utilisée ensuiteVitrac dans .. La 2 demande n'explicite pas plus l'unicité du prolongement à l'infini, alors que cette unicité est nécessaire pour la suite de l'exposéVitrac dans .. Le problème avait été remarqué dès l'antiquitéVitrac dans cite Zénon de Sidon et Proclus.. À la 3 demande, « intervalle » se comprend comme séparant deux extrémités. Pratiquement Euclide « trace » un cercle de centre A passant par B (A et B extrémités de l'intervalle) quand A et B sont déjà sur la figureVitrac dans .. La 5 demande, ou cinquième postulat, est la plus célèbre. On parle à son propos de postulat des parallèlesVitrac dans ., de postulat d'Euclide, daxiome d'Euclide, de postulatum, etc. Il possède de nombreux équivalents dont l'axiome des parallèles dit parfois axiome de PlayfairPour les énoncés publiés par Playfair et ceux auxquels peuvent renvoyer l'appellation « axiome de Playfair », voir l'article John Playfair., qui énonce l'unicité d'une droite parallèle à une droite D donnée, passant par un point P extérieur à cette droite D, dans le plan contenant D et P.Vitrac dans .. Proclus signale déjà l'unicité de la parallèle dans Les commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide à propos de la proposition I.31Vitrac dans ., proposition I.31 qui elle-même donne l'existence d'une droite parallèle à D passant par P sans utiliser le cinquième postulatVitrac dans ..
La première édition imprimée en 1533 du texte grec des Éléments, l'édition princeps de Simon Grynée à Bâle, ne donne que les 3 premiers postulats ; les postulats 4 et 5 sont déplacés parmi les notions communes.. Grynée s'est appuyé sur deux manuscrits, dont principalement un manuscrit du conservé à la Biblioteca Marciana de Venise qui est le seul des manuscrits anciens connus à présenter cette particularitéLe seul manuscrit quand on écarte quelques manuscrits tardifs qui ont justement pour source l'édition de Grynée.. Il s'agit en réalité d'une modification du manuscrit en question, réalisée également au , par remplacement d'un feuillet dont l'auteur, Georges Gémiste Pléthon, a été identifiéPléthon veut manifestement suivre une conception de la division entre postulats et axiomes attribuée à Géminus de Rhodes par Proclus dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments . Ce qui distingue les trois premiers postulats des deux suivant, c'est qu'ils demandent une construction (voir plus bas #Distinction entre postulats et axiomes)..
Cette édition est la source principale des éditions ultérieures du texte grec jusqu'à et y compris celle de David Gregory en 1703. Aussi la modification se retrouve-t-elle dans un certain nombre de traductions et adaptations des Éléments jusqu'au Par exemple, au les traductions de Jean Magnien et Christophorus Clavius , au Denis Henrion (, au l'édition de Gregory, les diverses éditions des de John Playfair (1795, 1804, 1813 et les rééditions ultérieures), au Peyrard qui corrigera dans son édition de 1814, … .
Les notions communes La liste des notions communes, ou axiomes, varie selon les manuscrits, et ce dès l'AntiquitéVitrac dans , qui s'appuie sur Les commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide de Proclus.. Dans ses Commentaires, Proclus en retient 5, et ce sont celles distinguées par l'édition HeibergVitrac dans , note 1 ; Heiberg, et donc Vitrac, en donnent 4 autres qui sont notées entre crochets par , entre accolades par .. Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes sont égaux.
Toutes énoncent des propriétés de l'égalité ou de l'inégalité, et c'est d'ailleurs aussi le cas de 3 des 4 notions communes non retenues par Proclus, la dernière, de nature géométrique, étant quasi-certainement interpoléeVitrac dans Ce 9 axiome, « deux droites ne contiennent pas une aire », devient la 6 demande de certains manuscrits, comme celui repris par ..
Les propositions Graphe d'implications des 26 premières propositions du livre I des Éléments d'EuclideVitrac dans ..|thumb thumb| Graphe d'implications de la théorie des parallèles (propositions 27 à 34) du livre I des Eléments d'Euclide, avec en particulier la première utilisation de la 5 demande (le postulat des parallèles) à la proposition 29.. thumb|Graphe partiel des implications du livre I des Elements d'Euclide amenant à la démonstration du théorème de Pythagore (47) et de sa réciproque (48)Vitrac dans .. Ces propositions traitent des points suivant : Constructions élémentaires. Les trois premières propositions décrivent quelques constructions élémentaires : construction d'un triangle équilatéral de côté donné (prop.1), construction d'un cercle de centre donné et de rayon donné (prop.2), retrancher d'un segment CD donné un segment AB donné (prop.3).