En mathématiques, une suite de Følner d'un groupe est une suite d'ensembles satisfaisant une certaine condition. Les suites de Følner servent à caractériser les groupes moyennables. Elles doivent leur nom au mathématicien Erling Følner.
Définition Étant donné un groupe qui agit sur un ensemble dénombrable , une suite de Følner pour cette action est une suite de sous-ensembles finis de qui recouvrent et qui « bougent peu » sous l'action du groupe. Plus précisément,
pour chaque , il existe un tel que pour tout , et pour tout dans ,
où est la différence symétrique, et le cardinal de
Pour un groupe localement compact agissant sur un espace mesurable , on utilise une autre définition : on remplace les ensembles finis par des ensemble de mesure finie et strictement positive ; la condition de Følner devient alors
,
Exemples
Tout groupe fini possède une suite de Følner donnée par . Considérons le groupe des entiers, agissant sur lui-même par addition. Soit l'ensemble des entiers compris entre et . Alors est l'ensemble des entiers compris entre et ; la différence symétrique a pour cardinal , alors que a pour cardinal , donc est une suite de Følner.
Moyennabilité Soit un groupe dénombrable possédant une suite de Følner pour son action sur lui-même. Alors est moyennable.
Pour définir une mesure sur , la définition naturelle serait
Cependant, cette limite n'existe pas toujours. Pour contourner cette difficulté, on choisit un ultrafiltre non-trivial sur , et on définit l'ultralimite :
Les propriétés des ultralimites font de une mesure de probabilité finiment additive et invariante à gauche.
Références
Catégorie:Théorie des groupes