En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la trace catégorique est une généralisation de la trace d'une matrice.
Définition La trace (catégorique) est définie pour une catégorie monoïdale symétrique C, c'est-à-dire une catégorie munie d'une notion généralisante de produit . (Cette notation reflète le fait que ce produit se comporte souvent comme une sorte de produit tensoriel .) Un objet X appartenant à une telle catégorie C est dit dualisable s'il existe un autre objet jouant le rôle d'objet dual de X. Dans cette situation, la trace d'un morphisme est défini comme la composition des morphismes suivants : où 1 est l'unité monoïdale et les morphismes extrémaux sont la coévaluation et l'évaluation, qui font partie de la définition des objets dualisables.
La même définition s'applique également lorsque C est une ∞-catégorie monoïdale symétrique.
Exemples
Si C est la catégorie des espaces vectoriels sur un corps k fixé, les objets dualisables sont précisément les espaces vectoriels de dimension finie, et la trace au sens ci-dessus est le morphisme
qui est la multiplication par la trace d'un endomorphisme f comme dans le sens usuel en algèbre linéaire.
Plus généralement, dans la catégorie des modules sur un anneau R, les objets dualisables sont les modules projectifs de type fini. Le dual d'un tel module M est et la fonction d'évaluation est , (prolongé linéairement), permet l'identification , sous lequel la trace d'un endomorphisme est, encore une fois, donnée par multiplication par la trace, la valeur de l'application ci-dessus. De la même manière, on peut définir une trace pour les endomorphismes de faisceaux localement libres de rang fini sur un espace annelé. Si C est l'∞-catégorie des complexes de chaînes de modules (sur un anneau commutatif R fixé), les objets dualisables V de C sont précisément les complexes parfaits . La trace, dans ce contexte, capture par exemple la caractéristique d'Euler, qui est la somme alternée des rangs de ses termes.
Autres applications Kondyrev & Prikhodko (2018) ont utilisé la trace catégorique pour prouver un version algébro-géométrique de la formule de point fixe d'Atiyah–Bott, une extension de la formule de point fixe de Lefschetz.
Références
Liens externes
Catégorie:Géométrie Catégorie:Théorie des catégories