En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit : qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace ; que l'espace est complet. Ces deux énoncés (avec = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz. et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer.. : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.
Convergence de la série de Fourier
Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction est donnée par , où est le -ième coefficient de Fourier, donné par ,
alors
,
où est la norme qui peut s'écrire pour une fonction
.
Inversement, si est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que
,
alors il existe une fonction de carré intégrable telle que les sont les coefficients de Fourier de .
Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer l'égalité de Parseval pour les séries de Fourier.
Complétude de l'espace
Pour tout , l'espace métrique est complet. Dans le cas usuel , c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si = 2, c'est un espace de Hilbert.
On démontre au passage que pour , toute suite de Cauchy dans — autrement dit, a posteriori : toute suite convergente dans — possède une sous-suite qui converge presque partout.
Notes et références
Richard Beals, , , 2004 John Horváth, « »
Catégorie:Série de Fourier Catégorie:Théorie de l'intégration Riesz-Fischer