vignette|Cette figure montre qu'un argument n'est pas unique. Ajouter à un argument (i.e. faire un tour de plus) donne toujours un argument. En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, un argument d’un nombre complexe est une mesure de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par (voir la figure ci-contre). La notion d'argument n'a pas de sens pour zéro. On mesure un argument en radians. Il n'y a pas de valeur unique pour un argument puisque les angles sont les mêmes modulo . Si l'on souhaite une valeur unique, on peut utiliser la notion d'argument principal, qui est l'unique valeur dans .

Définition Étant donné un nombre complexe non nul, un argument de est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :

où est l'image de dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe .

De manière équivalente, un argument de est un nombre réel tel que : , où , et sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de .

Souvent, on note un argument du nombre complexe de façon simplifiée par :

ou plus précisément : .

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase Dictionary of Mathematics, 2002, « phase ». ou de lamplitude. d'un nombre complexe : .

Argument principal

L'argument principal de , noté , est la mesure principale de l'angle , soit celle qui appartient à l'intervalle ; on a donc : .

Formules de calcul Si n'est pas un imaginaire pur, , où est le conjugué de et donc : si , . De manière plus générale, l'argument principal d'un nombre complexe non nul est entièrement déterminé de la façon suivante :

Cette expression se déduit d'une des formules de l'arc moitié, .

Propriétés Soient , et des complexes non nuls. On a, : . En particulier : pour tout réel non nul : pour tout entier relatif : .

Applications à la géométrie Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors : .

Notes et références

Articles connexes Coordonnées polaires Module d'un nombre complexe Détermination principale

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