En physique mathématique, la quantification géométrique est une approche formelle du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique fondée sur la géométrie symplectique. Par exemple, des liens peuvent être tissés entre : l'équation de Hamilton et l'équation de Heisenberg; le crochet de Poisson et le commutateur quantique. Physiquement parlant, la quantification géométrique consiste à mettre un chapeau sur les observables classiques d'une variété symplectique donnée. Mathématiquement parlant., la quantification géométrique consiste à définir un monomorphisme d'algèbres allant de l'algèbre de Poisson d'une variété symplectique à l'algèbre d'endomorphismes autoadjoints d'un espace de Hilbert.
Le programme de quantification géométrique fut initié par Jean-Marie Souriau vers 1960. Le but, à terme, est de définir la quantification de Dirac dans un contexte géométrique, i.e. où les coordonnées locales ne jouent qu'un rôle auxiliaire. Ce faisant, la quantification géométrique n'utilise que des concepts géométriques e.g. des variétés symplectiques, des fibrés, des sections de fibrés, des dérivées covariantes, etc. L'intérêt d'une telle construction géométrique de la mécanique quantique vient, en particulier, du fait que la relativité générale est fondée sur la géométrie différentielle.
La quantification géométrique fut l'un des principaux moteurs de recherche en géométrie symplectique des années '60 aux années '80.
Remarque : Dans l'exposé qui suit, la convention de signe employée pour le crochet de Poisson est celle utilisée par Landau et Lifschitz (1969) Mechanics (Landau AND Lifshitz), p.95, Souriau (1970) Structure des systèmes dynamiques (J.-M. Souriau), p.94, Kirillov (1976) Elements of the theory of representations (A. A. Kirillov), p.232, Woodhouse (1991) Geometric Quantization (N. M. J. Woodhouse), p.11 puis McDuff et Salamon (1995) Introduction to Symplectic Topology (D. McDuff AND D. Salamon), p.22-23 en posant x=p et y=q. et non celle employée par Dirac(1925) The fundamental equations of quantum mechanics (P.A.M. Dirac), p.649, Arnold (1978) Mathematical Methods Of Classical Mechanics (V. I. Arnold), p.215, Goldstein (1980) Classical Mechanic (H. Goldstein), p.397 et de Gosson (2006) Symplectic geometry and Quantum Mechanics (M. A. de Gosson), p.139.
Historique
1913 : Niels Bohr élabore son modèle atomique, le modèle de Bohr. Ce modèle sera raffiné par Arnold Sommerfeld pour en faire le modèle de Bohr-Sommerfeld.
1925 : En , Louis de BroglieLouis de Broglie, 1925, Recherches sur la théorie des Quanta établit les ondes de phase. En , Werner HeisenbergW. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). [traduction en anglais : B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (Titre en anglais : Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations, en français : Réinterprétation des relations cinématique et mécanique dans le cadre de la théorie quantique)]. définit la mécanique matricielle. En , Paul DiracP.A.M. Dirac, 1925, The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London ser. A, 109, 642-653, ( décembre 1925) pose les trois conditions quantiques devant être vérifiées par une éventuelle procédure de quantification :
1. l'application doit être -linéaire,
2. si est constante, alors doit être l'opérateur multiplication,
3. où est le crochet de Poisson et où est la constante de Planck réduite. Remarquons que dans le papier de Dirac en 1925 il utilisait la convention de signe opposée du crochet de Poisson de sorte qu'il n'avait pas le signe négatif du côté droit de cette équation.
1926 : Dans une série de papiersE. Schrödinger, 1926, An ondulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, The Physical Review, Second Series, décembre 1926, Vol. 28, No. 6, Erwin Schrödinger pose la fonction d'onde et l'équation de Schrödinger.
1927 : Hermann WeylH. Weyl, 1927, Quantenmechanik und Gruppentheorie, Zeitschrift für Physik, novembre 1927, Volume 46, Issue 1–2, p.1–46 introduit la quantification de Weyl, tentative d'associer une observable (un opérateur auto-adjoint) à une fonction réelle sur l'espace des phases.
1953 : Jean-Marie Souriau définit la notion de variété symplectique Patrick Iglesias-Zemmour, Symétries et moments Collection Enseignement des Sciences. Hermann, 2000., p.15.
1958 : André Weil pose le théorème d'intégralité de WeilAndré Weil, 1958, Variétés kählériennes. Voir le lemme 2, p.90.. Dans le contexte de la quantification géométrique, ce théorème stipule que la forme symplectique sur est la forme de courbure d'un -fibré principal préquantique si et seulement si la seconde classe de cohomologie de de Rham de la forme symplectique est entière, i.e. . Le théorème d'intégralité de Weil, qui s'écrit de manière équivalente comme pour la première classe de Chern du -fibré , est un cas particulier de la théorie de Chern-Weil.
1960 : Jean-Marie SouriauJean-Marie Souriau, 1966, Quantification Géométrique, Commun. math. Phys., 1, 374-398. La note de bas de page à la p.374 semble indiquer que les grandes lignes de la quantification géométrique furent exposées pour la première fois en 1960.Jean-Marie Souriau, 1967, Quantification géométrique. Applications définit la préquantification géométrique. Tout comme la théorie de Kaluza-Klein est fondée sur un -fibré principal dont la variété de base est l'espace-temps, la préquatification de Souriau est fondée sur un -fibré principal dont la variété de base est une variété symplectique.
1964 : Roger PenroseR. Penrose, 1964, Conformal treatment of infinity. Remarquons que Penrose a un "+" et non un "-" dû à une convention différente pour la définition de la courbure scalaire. La bonne formule moderne est bel et bien avec un "-" comme dans le . Remarquons aussi que la raison d'être de la courbure scalaire à côté du d'Alembertien est par souci d'invariance conforme. établit que l'équation d'une onde scalaire sans masse sur un espace-temps courbe de dimension 4 contient un terme de courbure scalaire, i.e. . Cette équation est laissée invariante par la transformation , .
1968 : N. A. Chernikov et E. A. TagirovN. A. Chernikov AND E. A. Tagirov, 1968, Quantum theory of a scalar field in de Sitter space-time. Tout comme (Penrose, 1964), ils ont un "+" au lieu d'un "-" devant la courbure scalaire, dû à une vieille convention. La bonne convention moderne est un "-" comme dans . établissent que l'équation de Klein-Gordon sur un espace-temps courbe est . Cette équation est laissée invariante par la transformation , , .
70's : La quantification géométrique avance avec, notamment, les travaux d'Alexandre Kirillov, de Bertram Kostant, de Shlomo Sternberg, de Robert J. Blattner, etc. La notion de polarisation et de correction métaplectique est introduite.
80's : Il est question de quantification métaplectique-cP. L. Robinson AND J. H. Rawnsley, 1989, The metaplectic representation structures and geometric quantization. Grosso modo, au lieu d'un produit tensoriel "", on prend une extension non-triviale du groupe symplectique. L'avantage est que la quantification s'applique à tous les et non qu'aux de dimension complexe paire (à vérifier).
Généralités
En mécanique classique :
Considérons une variété symplectique munie d'un hamiltonien . Le champ vectoriel hamiltonien de sur est défini par . Le flot hamiltonien de est le flot du champ vectoriel , c'est-à-dire :
Considérons une observable classique définie sur . Rappelons que le crochet de Poisson entre et peut s'écrire comme . L'évolution dynamique de l'observable par le flot hamiltonien est donnée par le pull-back :
La dérivée temporelle totale de est l'équation d'Hamilton :
En mécanique quantique :
Considérons un espace de Hilbert muni d'un opérateur hamiltonien . L'opérateur d'évolution temporelle unitaire correspondant à l'hamiltonien est défini par :
Considérons une observable quantique agissant sur . Selon la représentation de Heisenberg, l'évolution dynamique de l'observable par l'hamiltonien est donnée par l'action adjointe :
La dérivée temporelle totale de est l'équation de Heisenberg :
Correspondances entre la mécanique classique et la mécanique quantique
On remarque ici une panoplie de correspondances entre la mécanique classique et la mécanique quantique. Par exemple :
L'hamiltonien classique correspond à l'hamiltonien quantique L'observable classique correspond à l'observable quantique Le flot hamiltonien correspond l'opérateur d'évolution unitaire Le pull-back correspond à l'action adjointe L'équation d'Hamilton correspond à l'équation de Heisenberg Le crochet de Poisson correspond au commutateur quantique via
À cette liste pourrait s'ajouter ces correspondances importantes :
L'état classique correspond au vecteur d'état quantique Une orbite hamiltonienne classique correspond à une orbite hamiltonienne quantique
Ces deux dernières correspondances sont à prendre avec un grain de sel. En effet, dans l'espace des phases, l'état classique possède une position et un momentum bien déterminé. En quantique, au contraire, le principe d'incertitude empêche de savoir en même temps la valeur de et de . Une meilleure analogie est en termes de mécanique statistique. Sur la variété symplectique repose la forme volume canonique de Liouville . À une fonction de densité de probabilités correspond une densité de probabilités :
Vient alors deux correspondances entre la mécanique statistique et la mécanique quantique :
L'égalité correspond à la condition de normalisation L'espérance classique correspond à l'espérance quantique .
La première correspondance peut sembler relativement inutile. Toutefois, elle indique que les fonctions d'ondes quantiques sont des demi-densités de probabilités. Cette relation est à l'origine de la correction métaplectique.
Enfin, il existe une autre analogie. En mécanique classique, on peut définir l'évolution dynamique d'un système classique de deux manières différentes mais équivalentes. La première est de se dire que les observables classiques sont fixés sur alors que les états classiques évoluent dans le temps en étant poussés par le flot hamiltonien :
La seconde est de se dire que les états classiques sont fixés alors que les observables classiques évoluent dans le temps en étant tirés par le flot hamiltonien :
Ces deux manières sont équivalentes en ce sens que l'évolution temporelle de la valeur numérique obtenue par évaluation d'une observable classique sur un état classique est la même :
Ces deux manières équivalentes de voir les choses correspondent respectivement à la représentation de Schrödinger où les états quantiques évoluent comme :
et à la représentation de Heisenberg où les observables quantiques évoluent comme :
Règles à suivre pour une procédure de quantification géométrique
Le but de la quantification géométrique est d'associer à une observable classique sur une variété symplectique un opérateur quantique sur un espace de Hilbert .
Une procédure de quantification géométrique donnée doit être géométrique au sens où elle ne doit pas dépendre d'un choix de coordonnées locales particulières sur la variété . Cette procédure doit de plus satisfaire les trois conditions de Dirac énoncées plus haut. Enfin, la procédure doit pourvoir construire les systèmes quantiques usuels de la mécanique quantique, e.g. :
Tentatives de quantifications géométriques
Première tentativeJ.-M. Souriau, 1966, Quantification Géométrique, Commun. math. Phys., 1, 374-398. Voir p.382-383. : D'abord, on se donne , la forme volume de Liouville canonique induite par la forme symplectique sur . On considère alors la première quantification naïve suivante : Un état quantique est une fonction . Le produit hermitien d'états quantiques est .