En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entièreCette partie entière par troncature, désignant les chiffres « à gauche de la virgule » ne correspond pas forcément à la partie entière par défaut : dans le cas d’un nombre réel négatif comme , la partie entière par défaut vaut . munie d’un signeSeul le nombre zéro est à la fois positif et négatif. positif ou négatif, et une liste finie ou infinie de décimalesCertaines listes infinies de décimales peuvent être qualifiées de « non standard » si tous les chiffres sont égaux à 9 à partir d’un certain rang. Dans ce cas, le réel considéré est un nombre décimal et admet aussi une écriture standard comportant un nombre fini de décimales.. Cette définition étend la notion de nombre décimal en intégrant les rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rangPar exemple, 3/41=0,0731707317... avec une période de 5 chiffres., mais aussi d'autres nombres admettant un développement décimal non périodique et qui sont dits irrationnels, tels la racine carrée de 2, et .
La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d'entiers naturels depuis leur prise en compte par Eudoxe de CnideJean Dhombres, « Réels (nombres) », Dictionnaire des mathématiques, fondements, probabilités, applictions, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998. au Elle s'insère aussi dans l'approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du , à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part.
L'ensemble des nombres réels, notéLes lettres grasses étant difficiles à reproduire en écriture manuscrite, la graphie ℝ tend à se généraliser avec un doublement de la barre verticale. (ℝ en unicode), est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l'analyse réelle. Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme plus grand corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien.
L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le Notamment chez Prestet et Malebranche, Nouveaux elemens des mathématiques, T2, en 1689, et peu après chez Thomas Fantet de Lagny, Nouveaux éléments d'arithmetique et d'algebre, en 1697 mais il est déjà employé par René Descartes dans la Géométrie, 1637, ., mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du Georg Cantor, Les fondements de la théorie des ensembles, 1883. Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités de théologie ou de philosophie de la même époqueArmand Maichin, La théologie payenne, 1657, ..
vignette|upright=1.4|Représentation de la droite des réels avec des exemples de constantes réelles.
Dans la vie courante Les nombres réels sont utilisés pour représenter n'importe quelle mesure physique telle que : le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitude (positive ou négative) d'un site géographique, la masse d'un atome ou la distance de la galaxie la plus proche. Ces mesures dépendent du choix d'une unité de mesure, et le résultat s'exprime comme le produit d'un nombre réel par une unité. Les nombres réels sont utilisés tous les jours, par exemple en économie, en informatique, en mathématique, en physique ou en ingénierie.
Le plus souvent, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés : les entiers naturels ; les entiers relatifs ; les nombres décimaux, qui sont les réels que l'on peut écrire exactement en base dix ; les nombres rationnels, exprimables sous forme de fractions à numérateurs et dénominateurs entiers ; les nombres algébriques, qui comprennent notamment tous les nombres que l'on peut écrire en utilisant les quatre opérations élémentaires et les racines ; les nombres calculables, qui comprennent la quasi-totalité des nombres utilisés en science et en ingénierie (notamment e et π).
Bien que tous ces sous-ensembles des réels soient de cardinal infini, ils sont tous dénombrables et ne représentent donc qu'une infime partie de l'ensemble des réels. Ils ont chacun des propriétés propres. Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens : les nombres rationnels et les nombres algébriques ; on appelle « irrationnels » les réels qui ne sont pas rationnels et « transcendants » ceux qui ne sont pas algébriques.
En science
La physique utilise les nombres réels dans l'expression des mesures pour deux raisons essentielles :
Les résultats d'un calcul de physique utilisent fréquemment des nombres qui ne sont pas rationnels, sans que les physiciens ne prennent en compte la nature de ces valeurs dans leurs raisonnements car elle n'a pas de sens physique. La science utilise des concepts comme la vitesse instantanée ou l'accélération. Ces concepts sont issus de théories mathématiques pour lesquelles l'ensemble des réels est une nécessité théorique. De plus, ces concepts disposent de propriétés fortes et indispensables si l'ensemble des mesures est l'espace des nombres réels.
En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision infinie. La représentation numérique du résultat d'un calcul peut être approchée aussi précisément qu'il le souhaite par un nombre décimal. Dans l'état actuel de la physique, il est même théoriquement impossible de réaliser des mesures de précision infinie (d'après le principe d'indétermination d'Heisenberg). C'est pourquoi, aussi bien pour des besoins expérimentaux que théoriques, si le physicien calcule les mesures dans , il exprime les résultats numériques sous forme de nombres décimaux.
Ainsi le physicien utilise les propriétés des nombres réels qui permettent de donner un sens aux mesures qu'il réalise et offrent des théorèmes puissants pour démontrer ses théories. Pour les valeurs numériques, il se contente des nombres décimaux. Quand il mesure la distance que parcourt un point matériel sur un cercle complet, il utilise la valeur sans se poser de question sur son existence, mais un nombre de décimales souvent petit lui suffit pour les calculs.
Enfin, bien que les nombres réels puissent représenter n'importe quelle grandeur physique, les nombres réels ne sont pas les mieux adaptés pour l'étude de très nombreux problèmes physiques. Des sur-ensembles construits autour des réels ont été créés pour pouvoir manipuler certains espaces physiques. Par exemple : l'espace , pour modéliser des espaces, par exemple de dimension 2, 3 (ou plus) ; l'ensemble des nombres complexes dont la structure possède des propriétés plus fortes que celle de l'ensemble des nombres réels.
Autres remarques sur la notion de « développement décimal infini »
Tout nombre réel peut être représenté sous la forme de « nombre à développement décimal infini ». Cette définition peut sembler plus simple que d'autres utilisées couramment par les mathématiciens, par exemple la limite d'une suite convergente. Pourtant, elle apparaît rapidement comme peu adaptée et implique des définitions et des démonstrations bien plus complexes. En effet les nombres réels sont intéressants pour la structure et les propriétés de l'ensemble qu'ils forment : addition, multiplication, relation d'ordre, et les propriétés qui lient ces notions. Ces propriétés sont mal reflétées par la définition « développement décimal infini » et des problèmes théoriques apparaissent :
Certains nombres possèdent deux représentations. Par exemple, le nombre (les se poursuivent à l'infini) vérifie l'équation . Le nombre (les se poursuivent à l'infini) en est également solutionVoir aussi « Développement décimal de l'unité ».. Or l'existence et l'unicité de solution à l'équation , d'inconnue , sont deux propriétés essentielles pour une définition univoque des réels. Pour remédier à cette situation, il devient nécessaire d'identifier les représentations décimales qui sont solutions d'une même équation : la définition devient plus complexe. Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base dix. Cette difficulté n'est pas insurmontable. Elle est résolue par l'utilisation d'une base quelconque : on parle alors de développements en base . Il est alors possible de démontrer que les ensembles construits à partir de ces bases sont isomorphes et que les propriétés des nombres réels sont valables dans toutes ces bases. Cependant les démonstrations deviennent lourdes, et la définition perd de sa simplicité. Enfin, les algorithmes naturels pour effectuer une addition ou une multiplication, trouvent leur limite du fait de la double représentation des nombres décimaux. En effet, les « retenues » se calculent de la droite vers la gauche, et un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales (puisqu'il ne peut effectuer qu'un nombre fini d'opérations), c'est-à-dire de tronquer les nombres sur lesquels on calcule : il se peut donc qu'en tronquant aussi loin que l'on veut, on n'ait jamais la moindre décimale exacte, par exemple sur le calcul . Surmonter cette difficulté demande de faire appel à des notions de convergence, qui amènent naturellement vers d'autres modes de définition des réels.
Cependant, une fois établie la structure de l'ensemble des nombres réels, la notation par développement décimal permet des calculs effectifs, en gardant à l'esprit que ce n'est pas tant les décimales exactes d'un nombre qui comptent, que la position du nombre vis-à-vis des autres réels.
Aspect historique Origine des nombres Mise en place des fractions
Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place très tôt chez les Sumériens et les Égyptiens, est finalement performante. Elle permet d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée.
Correspondance avec des longueurs vignette|gauche|Euclide, l'un des pères des mathématiques. La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au Sa construction, inscrite dans ses Éléments, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques.
Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des démonstrations. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les démonstrations s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens. Un pont est bâti entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont alors mis en correspondance avec des longueurs de segments.
Problèmes d'incomplétude Irrationalité de la racine carrée de 2
vignette|L'aire du carré bleu est le double de celle du carré gris.
Supposons une longueur donnée choisie comme unité. Un raisonnement géométrique, certainement déjà connu des babyloniens, montre que si est un carré de côté l'unité et un carré de côté égal à la diagonale de , alors l'aire de est double de celle de , autrement dit : .