thumb|Détail d'une enluminure du , contrepoinçon d'une lettre capitale P, au début des Éléments d'Euclide, dans une traduction attribuée à Adélar de Bath. Une femme porte une équerre d'une main et utilise un compas de l'autre pour mesurer des distances sur un diagramme. Un groupe de moines, apparemment ses étudiants, la regarde. Au Moyen Âge, toutes les allégories du savoir comme des vertus et des vices sont féminines, Philosophie guide Boèce dans la Consolation, Béatrice Dante dans la Comédie, Logistique Poliphile dans le Songe. Ainsi aussi le premier auteur d'un manuel de pédagogie est Dhuoda.

L'objet de la géométrie (géométrie, du , gé : terre ; metron : mesure) concerne la connaissance des relations spatiales. Avec l'arithmétique (étude des nombres), elle constituait, dans l'Antiquité, l'un des deux domaines des mathématiques.

La géométrie classique, issue de celle d'Euclide, est basée sur des constructions obtenues à l'aide de droites et de cercles, c'est-à-dire élaborées « à la règle et au compas ». Avec la considération de figures plus complexes et la nécessité de la mesure, la barrière entre la géométrie et l'étude des nombres et de leurs relations (arithmétique, algèbre) s'est peu à peu estompée.

À l'époque moderne, les concepts géométriques ont été généralisés et portés à un plus haut degré d'abstraction, au point de perdre à proprement parler leur signification d'origine. Peu à peu abstraits ou soumis à l'usage de méthodes algébriques nouvelles, ils se sont pourrait-on dire dissous dans l'ensemble des mathématiques où ils sont aujourd'hui utilisés en tant qu'outils dans de très nombreuses branches.

Les premières traces de géométrie vignette|Triangle mégalithe de la Valle di Levante à Fondachelli Fantina, Sicile Si les Grecs peuvent être considérés comme les fondateurs de la géométrie en tant que science et discipline mathématique, de nombreuses connaissances en géométrie, nécessaires à la topographie, l'architecture, l'astronomie et l'agriculture, ont précédé la civilisation grecque. Les premières notions de géométrie reconnues remontent à 3000 , du temps de l'Égypte ancienne, de l'ancienne civilisation hindoue, des babyloniens et peut-être (mais l'hypothèse reste controversée) au sein de peuplades mégalithiques de Grande-Bretagne et de Bretagne.

Géométries égyptiennes et babyloniennes

thumb|Un extrait du papyrus Rhind - vers 1650 - British Museum

Les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation témoignent assez d'une connaissance au moins empirique des figures planes et solides. Les rares documents subsistant (papyrus de Moscou, papyrus Rhind, papyrus Kahun) montrent l'utilisation de règles pratiques pour résoudre des questions spécifiques faisant intervenir les notions de longueur, d'angle, d'aire et de volume.

La géométrie semble être apparue chez les Égyptiens à la suite de la nécessité à laquelle ils étaient confrontés d'arpenter chaque année des terrains transformés par les crues du Nil. Elle s'est ensuite développée pour les besoins de l'architecture, de l'agriculture et de l'astronomie.

La tablette prébabylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation de la longueur de la diagonale d'un carré de côté = a (elle égale a x racine carrée de 2).

Parmi les résultats de ces sciences Antiques, on peut citer des versions du théorème de PythagoreLa découverte de la tablette Plimpton 322 tend à montrer que le théorème de Pythagore était vraisemblablement connu de la civilisation babylonienne avant Pythagore., développé par les Égyptiens et les Babyloniens avant les Pythagoriciens, une table de trigonométrie chez les Babyloniens, ou encore la formule exacte du volume d'une pyramide carrée tronquée.

Géométrie indienne (3000-500 )

La civilisation de la vallée de l'Indus a utilisé des résultats de géométrie aussi développés que leurs contemporains en Mésopotamie et en Égypte.

La géométrie a été pratiquée en Inde depuis lors, et le mathématicien indien du Brahmagupta, auquel on attribue l'invention du zéro, est aussi l'auteur d'un théorème qui porte son nom. Par ailleurs, la contribution indienne au développement de la trigonométrie est également tout à fait significative (voir Histoire des fonctions trigonométriques).

Géométrie chinoise thumb|Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore. Ils ont été produits vers le ou le left|thumb|Démonstration visuelle du théorème de Pythagore

L'héritage grec

Pour les mathématiciens de la Grèce antique, la géométrie était au cœur des sciences. Elle a atteint une richesse de méthodologie inégalée dans les autres domaines du savoir.

Par rapport à leurs prédécesseurs, les Grecs étudièrent de nouvelles figures, dont des courbes, surfaces et solides ; ils reconnurent que les objets physiques peuvent n'être conçus que comme des approximations des formes étudiées en géométrie.

Mais surtout, ils innovèrent au niveau de la méthode, en réussissant à généraliser et à établir des lois à partir des nombreuses règles empiriques connues depuis longtemps.

Les précurseurs (600-300 ) thumb|upright=1.3|Les cinq solides platoniciens, sous forme de dés à jouer.

Thalès de Milet et Pythagore passent pour être parmi les premiers à avoir développé un raisonnement hypothético-déductif et à s'être interrogés sur la valeur des raisonnements.

On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, l'étude des angles inscrits et bien sûr le théorème de Thalès.

On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème de Pythagore et la figuration des nombres entiers.

On ne peut manquer, dans une revue de la géométrie antique, de rappeler l'importance de la recherche en géométrie pour Platon et ses disciples, et de citer la formule célèbre (mais légendaire) qui résume cette importance au sein de son Académie, « que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre »Cette formule est apocryphe : - ageômetrètos mèdeis eisitô..

On a pu prêter à l'illustre philosophe l'introduction des cinq solides platoniciens : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre régulier. Il est cependant plus vraisemblable que leur découverte n'ait pas été faite par un seul homme, et que le mathématicien Grec ayant identifié l'existence des seuls 5 polyèdres réguliers soit Théétète. Par ailleurs, Platon est crédité d'avoir introduit l'idée que toutes les figures géométriques puissent être construites à l'aide d'une règle et d'un compas. Les problèmes de la trisection de l'angle, de la duplication du cube, et de la quadrature du cercle qui résultent de cette hypothèse, ont hanté l'antiquité, les mathématiciens Arabes et les modernes jusqu'au . Ce dernier problème incita Ménechme à introduire les coniques.

Les proportions et l'incommensurabilitéDeux grandeurs sont incommensurables lorsque leur rapport n'est pas égal à une fraction. On dit aussi que c'est un nombre irrationnel. sont introduites par Eudoxe de Cnide.

Apogée au : Euclide et Archimède thumb|Propositions 31, 32 et 33 du livre XI des Éléments d'Euclide (vol. 2 du manuscrit, feuillets 207 verso - 208 recto - bibliothèque vaticane)

Mais le champion toutes catégories de la géométrie grecque est bien sûr Euclide. Ses Éléments sont le premier ouvrage de géométrie qui nous soit parvenu pour ainsi dire intégralement. Euclide y expose de manière si précise et si rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie, qu'on a pu le considérer comme l'inventeur même de la méthode axiomatique.

Il n'y a pas d'ouvrage mathématique plus illustre que celui d'Euclide, qui, en nombre d'éditions ne le cède qu'à la Bible ou au Coran : Il fut tenu pour l'expression de la vérité absolue pendant plus de .

Les Éléments d'Euclide déroulent l'ensemble des connaissances de géométrie de l'Antiquité à partir de 5 axiomes fondamentaux. Parmi ces axiomes, le cinquième présente l'aspect d'un simple théorème, en sorte que les générations successives de géomètres se sont efforcées de le démontrer, on le sait maintenant, en vain.

Il faut également signaler la contribution d'Archimède, qui introduisit le raisonnement par exhaustion, montra l'existence du nombre pi, et s'approcha des conceptions différentielles qu'il n'atteignit cependant pas (voir par exemple La quadrature de la parabole, De la mesure du cercle, De la sphère et du cylindre, Des spirales, et l'aventure du palimpseste.)

On mentionnera aussi Apollonius, qui publia au tournant du un traité sur les coniques qui fit autorité jusqu'aux temps modernes.

Géométrie hellénistique (200 avant notre ère - 500 de notre ère) thumb|Copie du d'Aristarque de Samos () montrant le calcul des dimensions relatives de la Terre, de la Lune et du Soleil.

Après ces géants des mathématiques, la géométrie marquera le pas dans l'Antiquité. Les innovations géométriques de Pappus ou de Proclus ne pouvant être tenues pour comparables, même de manière approchante.

En parallèle à la géométrie théorique, les anciens ont également développé une science plus directement orientée vers les applications pratiques. En particulier, les astronomes Hipparque et Ptolémée ont introduit des relations entre les côtés et les angles des triangles qui sont comme les prémisses de la trigonométrie.

Apport des Arabes et des Persans thumb|Aristote enseignant.

La contribution de la civilisation arabe et perse du Moyen Âge au développement de la géométrie a été tout à fait significative.

Outre la traduction des textes antiques, à travers laquelle l'Europe reprendra connaissance de l'héritage grec, des mathématiciens arabes se ralliant à la tradition pragmatique ont développé la trigonométrie. On attribue l'introduction des fonctions trigonométriques à Nasir ad-Din at-Tusi, mathématicien perse du Khorassan.

Al-Kashi, autre mathématicien perse, généralise le théorème de Pythagore (voir Théorème d'Al-Kashi).

La démonstration du et les problèmes de duplication du cube, trisection des angles et quadrature du cercle vont fasciner les savants perses et arabes comme ils l'avaient fait des Anciens.

Cela conduira à trouver des formulations équivalentes à l'axiome d'Euclide (Thabit ibn Qurra), à obtenir d'excellentes approximations de π (Al Kashi), ou à développer des méthodes géométriques de résolution d'équations algébriques, etc.

Moyen Âge et renaissance thumb|Conservation des œuvres Antiques, et traductions en Latin d'œuvres Grecques ou Arabes sont les principales contributions du Moyen Âge occidental à la géométrie. D'une manière générale, le Moyen Âge constitue, en Europe occidentale, pour la géométrie comme pour bien d'autres sciences, une période de recul.

La géométrie est certes encore enseignée. Elle fait partie du quadrivium qui comprend en outre l'arithmétique, l'astronomie et la musique. Le quadrivium est cependant plutôt moins prisé que le trivium (grammaire, rhétorique et dialectique) : c'est que ce dernier est probablement mieux adapté à une société dont le projet essentiel est la préparation à la vie post-terrestre.

Dans la longue période qui s'étend en gros du au , les savants géomètres sont rares en Occident. On pourra mentionner Gerbert d'Aurillac qui devint pape sous le nom de Sylvestre II, et surtout Léonard de Pise dit Fibonacci ; encore sont-ils plus connus pour leurs travaux d'arithmétique et l'ardeur qu'ils mirent à traduire les œuvres des savants arabes...