La conduction thermique (ou diffusion thermique) est un mode de transfert thermique provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière. (à l'échelle macroscopique) par opposition à la convection qui est un autre mode de transfert thermique. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'agitation thermique : un atome (ou une molécule) cède une partie de son énergie cinétique à l'atome voisin.
La conduction thermique est un processus de transport de l'énergie interne lié à l'agitation moléculaire et dû à une hétérogénéité du milieu à l'échelle macroscopique. C'est un phénomène irréversible analogue au phénomène de diffusion. Dans les fluides (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte au niveau microscopique de l'anisotropie de la fonction de distribution des vitesses. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les électrons de conduction et par les vibrations du réseau cristallin (phonons).
Phénomènes physiques vignette|Le mouvement de translation des particules dans les solides, qui se manifeste par leur température, prend la forme de phonons. On a représenté ici des phonons d'amplitude identique mais de longueur d'onde variant de 2 à .
La conduction thermique est le déplacement de l'énergie thermique des parties chaudes d'un systèmeLe terme système désigne un corps ou un ensemble de corps où s'opèrent des échanges de chaleur. vers les parties froides. Lorsque l'énergie diffuse dans un système, les différences de température décroissent et l'entropie croît.
Dans le cas le plus simple des gaz, la diffusion de l'énergie thermique intervient quand, au cours de son mouvement de translation, une particule cède une partie de sa quantité de mouvement à d'autres particules lors de collisions.
Dans les solides, le mouvement de translation prend la forme de phonons (voir la figure). Les phonons sont des quantités élémentaires (quantifiées) d'énergie de vibration se déplaçant dans un solide à la vitesse du son propre à la substance. La manière dont les phonons interagissent dans le solide détermine leurs propriétés, telles que la diffusion thermique. Les isolants électriques, par exemple, ont généralement une conductivité thermique faibleLe diamant est une exception notable : son réseau cristallin rigide possède de nombreux mode de vibration quantifiés. Il en résulte que le diamant présente à la fois une capacité calorifique très faible et une conductivité thermique élevée. et ces solides sont considérés comme des isolateurs thermiques (comme le verre, les matières plastiques, le caoutchouc, les céramiques et la pierre). Ceci est dû au fait que dans les solides, les atomes et molécules ne sont pas libres de se déplacer.
Les métaux, toutefois, présentent une forte conductivité thermique. En effet, leur structure permet une diffusion de l'énergie cinétique par les électrons de conduction, légers et extrêmement mobiles. C'est pourquoi il existe, dans les métaux, une corrélation presque parfaite entre la conductivité électrique et la conductivité thermiqueVoir Loi de Wiedemann et Franz.. La conductivité électronique prédomine dans les métaux parce que les électrons sont délocalisés, c'est-à-dire qu'il ne sont pas liés à un atome et qu'ils se comportent comme un gaz quantique.
Généralités sur la modélisation Loi de Fourier La conduction thermique est un transfert thermique spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse, et est décrite par la loi dite de Fourier établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822, et liens externes . : la densité de flux thermique est proportionnelle au gradient de température :
La constante de proportionnalité est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive.
Dans le Système international d'unités, la densité de flux thermique s'exprime en watts par mètre carré (), la conductivité thermique en watts par mètre-kelvin () et la température T en kelvins ().
La loi de Fourier est une loi macroscopique. Elle n'est valide que pour des solides de dimensions grandes devant le libre parcours moyen et la longueur d'onde des phonons impliqués dans les transferts thermiquesDes flux de chaleur qui échappent à Fourier, Pour la Science décembre 2018 ..
La loi de Fourier est une loi phénoménologique analogue à la loi de Fick pour la diffusion de particule ou la loi d'Ohm pour la conduction électrique (Ohm s'est d'ailleurs servi d'une analogie entre thermique et électricité pour construire sa théorie). Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre intensif (température, nombre de particules par unité de volume, potentiel électrique) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).
Équation de la chaleur
Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène, équation de transport de la température :
où
| || est la conductivité thermique du matériau en , |- | || est l'énergie produite au sein même du matériau en Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais apparaît dans l'étude du transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire, ou dans l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents, |- | || est la masse volumique en |- | || est la capacité thermique massique du matériau en .
Sous forme unidimensionnelle et dans le cas où est nulle et la conductivité constante, on obtient :
En régime stationnaire, lorsque la température n'évolue plus avec le temps et si est nul, elle se réduit à : qui est une équation de Laplace. est alors une fonction harmonique.
Dans le cas d'un régime permanent et unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à : dont la solution est où et sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.
Échelle microscopique : l'équation de Boltzmann-Peierls vignette|Conductivité apparente d'une lame de silicium en fonction de son épaisseur. Le libre parcours moyen dans le milieu est voisin de . Dans les problèmes à l'échelle nanométrique tels qu'on les rencontre par exemple en microélectronique le libre parcours moyen des phonons n'est pas petit devant la taille de l'objet étudié et l'équation de diffusion de la chaleur n'est plus valide.. Ce problème a été résolu par Rudolf Peierls en 1929 en donnant une description microscopique du phénomène par l'intermédiaire d'une équation de Boltzmann pour l'énergie transférée par les phonons considérés comme un gaz, à l'instar du gaz de photons. Cette énergie est ramenée à l'unité d'aire traversée , à l'intervalle de fréquence considéré , à l'angle solide élémentaire considéré et à l'intervalle de temps pour donner une intensité
Cette quantité est l'analogue de la luminance spectrale pour le rayonnement. Elle obéit à l'équation de Boltzmann que l'on donne ici en une dimension d'espace et dans le cas stationnaire
Pour cela : on a introduit la quantité ; où est le coefficient d'absorption spectral du milieu supposé indépendant de . Cette quantité est l'inverse du libre parcours moyen , typiquement quelques dizaines de nm à température ambiante; on a supposé que la dépendance angulaire était de révolution, caractérisée par ; on a négligé les termes de diffusion pouvant résulter de défauts cristallins ou de processus . G est le terme de création qui résulte de la création de phonons par agitation thermique.
Dans le cas où l'équilibre thermodynamique est atteint, ce terme est donné par la loi de Planck (les phonons sont des bosons tout comme les photons, ils obéissent donc à la statistique de Bose-Einstein) :
où
| || température de vibration unique pour tous les degrés de liberté du réseau cristallin (dilatation, torsion, flexion), |- | || constante de Planck, |- | || constante de Boltzmann, |- | || constante de Stefan-Boltzmann, |- | || vitesse de groupe pour la propagation (typiquement quelques milliers de m/s). C'est la moyenne des vitesses longitudinale et transversale, quelquefois nommée vitesse de Debye. |} Dans l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique du milieu on peut écrire une équation pour l'intensité qui est identique à celle du transfert radiatif. On obtient une équation pour l'intensité intégrée en fréquence :
Lien avec l'échelle macroscopique Introduisons les premiers moments de :
| - l'énergie || |- | - la densité de flux de chaleur || |} où est la masse volumique et la capacité thermique massique.
Lorsque : le libre parcours moyen est petit devant la dimension du domaine ou tout autre quantité s caractérisant la solution soit ; le temps caractéristique est petit devant toute variation temporelle dans le domaine ; diverses méthodes permettent d'obtenir une équation de diffusion reliant ces quantités sous la forme :
On reconnait la loi de Fourier avec une conductivité thermique valant
La conductivité thermique est proportionnelle à la vitesse de propagation, à la capacité thermique massique et au libre parcours moyen dans le milieu.
Par suite le coefficient de diffusion thermique est proportionnel à la vitesse de propagation et au libre parcours moyen.
L'équation de la chaleur obtenue avec cette approximation diffusive est une équation parabolique pour laquelle la vitesse de propagation de l'information est infinie.
Échelles de temps courts : équation de Cattaneo-Vernotte Dans certains cas l'hypothèse de quasi-stationnarité du flux n'est plus valide, par exemple si on utilise une source de chaleur ultra-brève comme une impulsion laser pour chauffer un échantillon.
Si on conserve le terme temporel sur le flux (voir encadré précédent), on obtient :
Cette expression du flux comportant un terme de relaxation de l'oscillation des phonons est appelée équation de Cattaneo-Vernotte d'après Carlo Cattaneo. et Pierre Vernotte.. Le système auquel elle conduit est du type équations des télégraphistes. Dans ce système d'équation aux dérivées partielles hyperbolique, la vitesse de propagation de l'information est et non .
Échelle nanoscopique : le quantum de chaleur On considère un guide d'ondes virtuel de taille nanoscopique. Rolf Landauer a montré. que le flux de chaleur pour le mode de propagation α entre un milieu 1 et un milieu 2 à l'équilibre thermodynamique est
où
| || nombre d'onde ; |- | || relation de dispersion ; |- | || nombre d'occupation de la statistique de Bose-Einstein ; |- | || facteur de transmission. |} Le guide est limité par deux surfaces permettant un échange parfait : . À ses extrémités on applique deux milieux avec une différence de température et on considère la limite . On suppose que ces températures sont suffisamment faibles pour avoir le droit de ne prendre en compte que le nombre d'onde k = 0 pour chaque mode.
Avec ces hypothèses on montre que le quantum de conductance par mode est.
Cette valeur a été mesurée expérimentalement..
Conduction en régime stationnaire Un régime stationnaire est défini par l'indépendance par rapport au temps de toute quantité, notamment la température.
Remarque : on confond parfois le régime stationnaire avec le régime permanent, alors qu'un régime permanent peut dépendre du temps (exemple : un régime périodique).
Surface plane simple Le matériau est un milieu limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan a une température homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le milieu est unidimensionnel et la densité de flux est la même en tout point. On suppose de plus que la conductivité est constante.
vignette|Profil de température dans un mur.