vignette|Exemple d'interpolation de données unidimensionnelles par krigeage. Les carrés rouges indiquent l'emplacement des données. L'interpolation par krigeage, représentée en rouge, suit les moyennes des intervalles crédibles normalement distribués représentés en gris. La courbe en pointillé montre une spline qui est lisse, mais qui s'écarte de manière significative des valeurs attendues données par ces moyennes. Le krigeage est, en géostatistique, une famille de méthodes d’estimation linéaires garantissant le minimum de variance sous certaines hypothèses. Le krigeage réalise l'interpolation spatiale d'une variable régionalisée par calcul de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, utilisant l'interprétation et la modélisation du variogramme expérimental. Il tient compte non seulement de la distance entre les données et le point d'estimation, mais également des distances entre les données deux à deux.
Le terme « krigeage » provient du nom de famille de l'ingénieur minier sud-africain Danie G. Krige. Il a été formalisé pour la prospection minière par Georges Matheron. (1930-2000) au BRGM puis à l'École des mines de Paris. Depuis, le domaine de ses applications a largement été étendu, touchant notamment la météorologie, les sciences de l’environnement et l’électromagnétisme.
Selon les hypothèses sous-jacentes, le krigeage se décline sous plusieurs variantes (simple, ordinaire…) qui toutes utilisent les mêmes principes.
Notations utilisées une quantité (définie de manière quelconque) à estimer en un point ; la variable régionalisée étudiée ; la fonction aléatoire associée à ; , sa covariance et son espérance ; le nombre de points de mesure ; le point d'estimation ; les points de mesure ; l'opérateur d'estimation par krigeage; ainsi est l'estimateur de krigeage de ; la valeur estimée en par le krigeage considéré ; les données, connues aux points de mesure ; le poids affecté par le krigeage à la valeur en ; le paramètre de Lagrange utilisé dans le krigeage ; la valeur du variogramme pour une distance ; la valeur de la covariance pour une distance ; les fonctions de base dans le cas du krigeage universel, ; la valeur de au point ;
Principe d'un krigeage
Un krigeage habituel fait se succéder plusieurs actions : recueil et prétraitement de la donnée : il s'agit de nettoyer la variable régionalisée de ses valeurs aberrantes, valeurs mal codées… Il peut être utile de transformer la donnée (par bijection) en un paramètre qui sera estimé à sa place, avant transformation réciproque. décision de l'estimation attendue : généralement, il est cherché une estimation en chaque point d'une grille, parfois en chaque volume élémentaire. choix d'un modèle : un modèle de fonction aléatoire associée à est proposé, selon les hypothèses faites sur sa stationnarité, sa valeur moyenne, les éventuels paramètres auxiliaires. calage d'un variogramme : sur la considération du variogramme expérimental, un modèle de variogramme est choisi, respectant les conditions découlant du choix du modèle. krigeage proprement dit : le type de krigeage dépend du choix du modèle, et du type de résultat attendu. Il varie selon le choix du voisinage. post-traitement : une éventuelle transformation réciproque est appliquée ; le résultat est commenté.
Le calcul fournit également une variance de krigeage , qui dépend du variogramme et de la position des points de données, mais pas des valeurs de celles-ci.
Contraintes d'un krigeage Le fait que le krigeage est l'estimateur linéaire de variance minimale se traduit par quatre contraintes successives, qui permettent d'écrire le système de krigeage pour toutes les variantes de la méthode. La suite détaille les quatre étapes de construction d'un estimateur pour une quantité à estimer .
Linéarité Dans un souci de réalisme, on pose que la quantité à estimer est une fonctionnelle linéaire de la fonction aléatoire étudiée (dans le cas général: ); le cas plus large (problèmes de coupure et de sélection…) relève de la géostatistique non linéaire.
L'estimateur est posé comme combinaison linéaire des données, de poids inconnus pour l'instant :
Autorisation L'erreur d'estimation doit être une combinaison linéaire autorisée, c'est-à-dire que son espérance et sa variance doivent être définies.
La condition d'autorisation s'écrit différemment selon le modèle sous-jacent supposé (on supposera toujours le support borné). Dans le modèle stationnaire d'ordre 2, toutes les combinaisons linéaires sont autorisées, et il n'y a pas de contrainte. Par contre, dans le modèle intrinsèque, une combinaison linéaire est autorisée si et seulement si son poids total est nul :
Universalité On exige de l'estimateur qu'il ne présente pas de biais statistique par rapport à la quantité à estimer. Cette contrainte peut être nommée contrainte de non-biais ou d'espérance nulle :
Optimalité On demande à l'erreur d'estimation d'être de variance minimale, sous les contraintes précédentes. Sauf cas particuliers, il y existe une solution unique à ce problème d'estimation.
Le résultat de ces quatre contraintes est, dans le cas général, un système de Cramer, qui admet une solution et une seule.
On peut étendre cette démarche dans le cas continu en considérant non des pondérations mais des mesures .
Krigeages ponctuels
Krigeage stationnaire à moyenne connue (krigeage simple) Soit une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2. Son espérance et sa matrice de covariance pour les sites d'échantillonnage sont supposées connues. On suppose sans perte . On cherche le krigeage de en un point .
Hypothèses d'écriture du krigeage simple Par linéarité, le problème devient la recherche des poids , dépendants du point d'estimation, tels que ; L'autorisation est assurée dans le cas stationnaire; L'universalité est assurée par hypothèse : ; L'optimalité suppose :
Le système de krigeage simple s'écrit matriciellement :
où : est la matrice de covariance aux sites d'échantillonnage :
est la matrice des poids de krigeage :
est la matrice de covariance du point krigé avec les sites d'échantillonnage
La matrice de covariance étant symétrique définie positive, elle est inversible et on résout le système de krigeage en l'inversant :
Le résultat de l'interpolation au point est :
Dans le cas général, l'espérance de n'est pas toujours nulle. On calcule alors les poids du krigeage de la variable au point , dont l'espérance est nulle. On obtient le krigeage simple de en :
La variance d'estimation du krigeage simple est :
Le krigeage simple ne peut s'écrire directement en termes de variogramme, puisque la somme des poids n'est pas égale à 1. Le krigeage simple exige que la covariance soit définie, c'est-à-dire que le variogramme présente un palier.
Si la fonction aléatoire est gaussienne, le résultat de krigeage est l'espérance conditionnelle, et l'estimation et l'erreur sont gaussiennes :
Krigeage stationnaire à moyenne inconnue (krigeage ordinaire, 1) L'espérance est supposée inconnue (mais définie).
Hypothèses d'écriture du krigeage ordinaire La linéarité donne ; L'autorisation est assurée dans le cas stationnaire; L'universalité ne permet pas de supposer , et donne ; L'optimalité est réalisée par la méthode du multiplicateur de Lagrange. Soit ce paramètre, on obtient le système de krigeage ci-après
Le système de krigeage ordinaire s'écrit matriciellement :
La variance d'estimation en krigeage ordinaire est
On peut utiliser la même démarche pour évaluer l'espérance inconnue. Soit son estimateur . Hypothèses d'écriture du krigeage de l'espérance La linéarité donne L'autorisation est assurée L'universalité impose , donc L'optimalité se résout par multiplicateur de Lagrange (noté ) en le système ci-après.
La variance de l'évaluation de la moyenne est donc :
Krigeage strictement intrinsèque (krigeage ordinaire, 2) Soit strictement intrinsèque sans dérive.
Hypothèses d'écriture du krigeage ordinaire La linéarité donne ; L'autorisation, dans le modèle intrinsèque, donne L'universalité est respectée, car une combinaison linéaire autorisée dans le modèle intrinsèque sans dérive est d'espérance nulle L'optimalité nécessite
Ce cas est identique au précédent, écrit en variogramme :
La variance d'estimation en krigeage ordinaire est encore (le plus généralement ).
Lien entre krigeages simple et ordinaire Le krigeage ordinaire ponctuel se décompose en deux étapes : estimation de la moyenne du processus par krigeage ordinaire, puis krigeage simple en tenant compte de cette moyenne. Posant respectivement , et les poids, multiplicateurs de Lagrange et variance de krigeage ordinaire pour l'estimation de la moyenne, et les poids et multiplicateur de Lagrange pour le krigeage ordinaire, les poids de krigeage simple, et le poids de la moyenne en krigeage simple, on a :
La variance de krigeage simple est inférieure à celle du krigeage ordinaire associé. Si les données sont nombreuses et bien structurées, les deux krigeages sont proches. Sinon, le krigeage simple attribue un poids important à la moyenne globale connue, et le krigeage ordinaire attribue le même poids à une estimation locale de la moyenne, ainsi ce dernier est plus robuste quant aux défauts de stationnarité. D'une manière générale, le krigeage ordinaire est à préférer au krigeage simple, sauf cas particuliers (krigeage d'indicatrices, simulations).
Krigeage universel Le modèle supposé est , comportant une dérive déterministe et un résidu voulu stationnaire (résidu vrai), et d'espérance nulle. La difficulté est de séparer les deux composantes et dans la variable régionalisée . Cette dichotomie peut représenter une opposition explicative entre basses et hautes fréquences, entre tendance régionale et anomalies.
La dérive est supposée décomposable selon un nombre connu de fonctions de base , généralement des monômes des coordonnées, avec la fonction constante unité. Les coefficients sont inconnus. Le modèle de dérive calculé par les algorithmes ci-après ne décrit pas forcément la tendance du phénomène, mais une approximation à l'échelle de travail.
Les hypothèses sur le résidu sont appelés sous-jacents sur .
Krigeage universel à modèle sous-jacent stationnaire d'ordre 2 Ce modèle est interprétable comme ayant une force de rappel autour de la dérive. La covariance est posée .
On notera la valeur de au point , pour .
Hypothèses d'écriture du krigeage universel sur FASt-2 La linéarité donne L'autorisation est assurée L'universalité impose avec inconnus, d'où L'optimalité introduit les multiplicateurs de Lagrange ; les conditions d'optimalité s'écrivent :
Sous forme matricielle, le krigeage universel s'écrit :
La variance d'estimation est:
Krigeage universel à modèle sous-jacent intrinsèque strict On suppose intrinsèque stricte sans dérive (la dérive étant intégrée à ).
Hypothèses d'écriture du krigeage universel sur fonction aléatoire intrinsèque stricte La linéarité pose L'autorisation impose L'universalité impose L'optimalité introduit un multiplicateur de Lagrange pour la contrainte d'autorisation, et d'autres pour les contraintes d'universalité.
Le système de krigeage s'écrit :
Soit matriciellement :
La variance d'estimation est :
Le résultat est identique au cas précédent, cependant la situation physique n'est pas la même : ici, le phénomène peut admettre un variogramme sans palier, c'est-à-dire sans force de rappel.
Évaluation de la dérive Les calculs précédents ont supposé une dérive déterministe, connue et régulière.
En modèle sous-jacent stationnaire, on pose un estimateur linéaire de la dérive . Les sont solutions du système :
Et la variance d'estimation en est :
En modèle sous-jacent intrinsèque strict, les contraintes d'autorisation et d'universalité sont incompatibles ; l'estimation optimale de la dérive est impossible.
Évaluation des coefficients de la dérive
Variogramme des résidus
Krigeage intrinsèque (FAI-)