En mathématiques, un préordre, Paris, Masson, 1998, ch. III, § 1, , , écrit « préordre » et « préordonné ». est une relation binaire réflexive et transitive.

C'est-à-dire que si est un ensemble, une relation binaire sur est un préordre lorsque : (réflexivité) ; (transitivité). Un ensemble préordonné est un ensemble muni d'un préordre, ou plus formellement un couple où désigne un ensemble et un préordre sur .

Exemples Les ordres sont les préordres antisymétriques. Les relations d'équivalence sont les préordres symétriques. Dans un anneau commutatif, la relation « divise » est une relation de préordre. En général, ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (par exemple dans l'ensemble des entiers relatifs, 1 divise –1 et –1 divise 1 alors que 1 et –1 sont différents). Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un préordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre. Entre normes sur un même espace vectoriel réel, la relation « est plus fine que » est un préordre. Entre fonctions réelles d'une variable réelle, la domination est un préordre. Sur l'ensemble des disques du plan, la relation « a une aire au plus égale à celle de » est un préordre. Ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (deux disques différents peuvent avoir même aire). Cette même relation, sur l'ensemble des disques fermés (ou celui des disques ouverts) de centre fixé, est une relation d'ordrePaul Ruff, « Relation d'ordre », Fiches pédagogiques à destination des professeurs de collège, , 4 janvier 1963..

Compléments Si et sont deux ensembles préordonnés, une application de dans est dite, ch. III, § 1, , . croissante si .

Si est un ensemble, un ensemble préordonné et une application de dans , la relation définie par est un préordre sur (cf. dernier exemple ci-dessus, où , qui à tout cercle associe son aire, est à valeurs dans un ensemble ordonné : les réels — ou les réels positifs).

Si est un ensemble préordonné, alors : la relation « » est une relation d'ordre strictAntoine Rolland, Procédures d'agrégation ordinale de préférences avec points de référence pour l'aide à la décision, thèse de doctorat en informatique, université Pierre-et-Marie-Curie, 2008. ; la relation ~ définie par « » est une relation d'équivalence ; pour deux éléments et de l'ensemble quotient de par , les deux conditions suivantes reviennent alors au même : pour tout élément de et tout élément de , , il existe un élément de et un élément de tels que .On peut alors définir une relation d'ordre sur cet ensemble quotient en posant : si l'une des conditions précédentes est réalisée, ch. III, § 1, , . ; si est une partie de contenant exactement un représentant de chaque classe d'équivalence, la restriction de à est un ordre et est isomorphe à (cf. dernier exemple ci-dessus).

Catégorie associée à un ensemble préordonné À tout ensemble préordonné , on peut associer la catégorie ainsi définie :

les objets de sont les éléments de ; étant donnés deux objets et de , se compose d'une seule flèche si et est vide dans le cas contraire.

En particulier lorsque est l'égalité, est la catégorie discrète ayant comme collection d'objets..

Notes et références

Article connexe Clôture réflexive transitive

Catégorie:Préordre Catégorie:Théorie des catégories