Théorie des équations (histoire des sciences)

thumb|upright|Évariste Galois offre une condition nécessaire et suffisante à la résolution d'une équation polynomiale par l’algèbre. Il répond ainsi à une question centrale de la théorie, ouverte depuis des millénaires. Sa méthode fournit des résultats novateurs, à l’origine de nouvelles branches de l’algèbre, qui dépassent le cadre de la théorie des équations.

La théorie des équations est un ensemble de travaux ayant pour objectif premier la résolution d’équations polynomiales« Équations, théorie des », Encyclopédie Encarta. ou équivalentesLe terme équivalent s’applique lorsque quelques transformations permettent de reformuler l’équation sous la forme de la recherche des racines d’un polynôme.. Une telle équation s’écrit de la manière suivante :

où X désigne l’inconnue.

La « théorie des équations » est une expression utilisée en histoire des sciences..

L’étude de ce type de questions remonte aux premiers textes mathématiques connusVoir par exemple le papyrus Rhind.. Une première approche permet de résoudre l’équation dans le cas où le degré du polynôme est strictement plus petit que cinq. C'est durant la Renaissance et avec l'étude des équations cubiques que de nouveaux nombres sont utilisésVoir le paragraphe Diffusion en Europe.. Ils sont qualifiés initialement d’imaginaires puis de nombres complexes. Ce n'est que plus tard que ceux-ci interviennent comme solutions d’équations de degré deux.

À partir de l'époque moderne, le polynôme est aussi considéré comme une fonction, appelée fonction polynomiale. Cette approche offre des méthodes pour déterminer le nombre de racines réelles, pour localiser les racines (c’est-à-dire trouver des régions où elles se trouvent) et pour fournir des méthodes d’approximations aussi précises que souhaité. L’un de ses achèvements est le théorème de d'Alembert-Gauss, qui indique qu’une fonction polynomiale non constante admet au moins une racine dans les nombres complexes.

Un point de vue du consiste à étudier le plus petit ensemble de nombres, stable pour les quatre opérations et qui contienne à la fois coefficients et racines d'une équation donnée. Cette approche entre dans la théorie dite de Galois. Elle offre une condition nécessaire et suffisante pour savoir si une équation polynomiale se résout par les techniques décrites par la première approche, dans le cas contraire l’on doit se limiter à des approximations issues de l’analyse. Jusqu’au , la théorie des équations se confond avec l’algèbre. Puis, à la suite de la théorie de Galois principalement, l’algèbre s’élargit pour prendre en compte de nouvelles questions. Cette théorie est à l’origine de vastes domaines mathématiques, comme la théorie des groupes, celle des anneaux ou encore la géométrie algébrique.

Remarque : Quand on ne précise pas, le terme de théorie des équations désigne généralementOn trouve néanmoins des exceptions. Un contre exemple est le titre du tome III : Théorie des équations d’un livre consacré à l’analyse : J. Favart, Cours d’analyse de l’école polytechnique, Gauthier-Villars, 1963. les équations polynomialesC’est par exemple le choix de : « Sur l’histoire du théorème fondamental de l’algèbre : théorie des équations et calcul intégral », Archive for History of Exact Sciences, 42, 2, 91-136.. En revanche, il existe de nombreuses équations qui, sans être algébriques, font néanmoins l’objet d’une théorie. L’usage veut alors que l’on précise la nature de l’équation, comme dans l’expression théorie des équations différentiellesOn trouve par exemple l’expression Théorie analytique des équations différentielles ordinaires, par le programme des cours LMD de l’université Pierre et Marie Curie à Paris.. Il n’existe pas de théorie unique s’appliquant à tout type d’équations, elles forment pour cela un ensemble trop disparate.

Origines Avant la théorie

thumb|upright|Le livre Arithmetica de Diophante est le premier à décrire l'inconnue au sens mathématique du terme.

Aussi loin que remontent les textes connus en mathématiques, on y trouve des questions qui s'expriment, en langage contemporain, sous forme d’équations algébriques. On lit, dans un papyrus de l’Égypte ancienne : . ce qui se traduit par 2/3x + 1/10x = 10. Des problèmes du second degré sont particulièrement étudiés par les Babyloniens. Leur langage est géométrique, la valeur recherchée, notée ici x, est appelée côté et x carré, mais leur formulation est souvent purement algébrique. On peut lire, sur une tablette d’argile : Cette question est extraite d’une tablette conservée au British museum sous le numéro BM 13901 : L’algèbre babylonienne, par l’IREM de Rennes. La notation est ambiguë, la signification choisie ici correspond à la solution x = 1/2 de l'équation donnée dans la tablette., pour décrire (en numérotation sexagésimale utilisée par les Babyloniens) l’équation 11x + 7x = 6 + 15/60 = 25/4. Le sens géométrique de la somme d’une aire et d’une longueur est ambiguë, cependant aucun commentaire n’étaye une interprétation purement algébrique de la question (des nombres multipliés et additionnés). Aucun outil algébrique n’est développé, il n’existe pas dinconnue que l’on peut déterminer à l’aide d'une méthode calculatoire. Les Égyptiens résolvent l’équation du premier degré par essais successifs, à l’aide de la méthode de la fausse position et les Babyloniens disposent d’algorithmes sans autre justification qu'empirique, c’est-à-dire qu’à la fin la valeur trouvée est bien la solution recherchée.

La première étape qui approche de l’ébauche d’une véritable théorie demande plus de deux millénaires. Elle est franchie par trois cultures mathématiques : la Grèce, la civilisation arabe et celle des Indes. Diophante, un mathématicien du , formalise l'''arithme, une lettre qu’il définitCollectif IREM-APMEP de Poitiers, (Institut de recherche sur l'enseignement en mathématiques - Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public), Histoire de symboles, chapitre 12 : La première inconnue, 2003, par : L’arithme s’additionne et se multiplie : ce qui signifie en langage moderne que x divise x4 et que le résultat est égal à x3. Cette démarche permet une véritable formulation mathématique de l’équation et surtout, un mode de résolution. Avant que Diophante ne soit traduit en arabe., Al-Khawarizmi, un mathématicien d’origine perse, développe au une idée analogue. Son inconnue s’appelle le say’R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l’histoire des mathématiques arabes, Les Belles lettres, Paris, 1984.. Une fois encore, le nouveau formalisme offre un moyen de résolution de l’équation. R. Rashed indique : La même idée est encore présente chez le mathématicien indien Bhāskara II dans son texte intitulé BījagaṇitaL. Rodet, l’algèbre d’Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque, lire sur Gallica, 24..

Les différentes méthodes de résolution des problèmes des premier et second degrés, avec et sans le formalisme de l’équation, sont présentées dans l’article détaillé.

Algèbre arabe thumb|upright=1.1|left|Les polynômes d’al-Samaw'al représentés par un tableau préfigurent une conception purement abstraite de l’algèbre.

Le mathématicien Al-Khawarizmi est souvent considéré comme fondateur de la branche des mathématiques appelée algèbre. En termes d’étymologie, le titre de son traité sur les équations : Kitâb al-jabr wa al-muqâbala utilise le terme al-jabr, devenu algèbre. En arabe, al-jabr vise dans l’objectif d’obtenir uniquement des coefficients positifs. Par exemple : 2x + 100 - 20x = 58 devient en suivant ce procédé : 2x + 100 = 58 + 20x. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent que le travail d’Al-Khawarizmi est : .. Ce n’est pas uniquement l’étymologie qui justifie cette attribution à Al-Khawarizmi : en effet, celui-ci s’intéresse à toutes les équations du second degré, tandis que Diophante ne cherche à résoudre que quelques cas particuliers, à solutions entières ou rationnelles. Al-Khawarizmi a une démarche plus systématique : l’objet de son traité est d’offrir une méthode permettant de trouver à coup sûr, s'il en existe, une solution de l’équation.

Les progrès sur la théorie des équations ne s’arrêtent pas à Al-Khawarizmi. Il est à l’origine d’une école mathématique qui se développe sur plusieurs siècles. Son disciple Abu Kamil dissipe une première appréhension. À l’origine, les équations étudiées sont presque toujours à coefficients rationnels, Abu Kamil généralise l’étude aux coefficients irrationnels, un exemple d’équation de cette nature est donné dans l’article inconnue (mathématiques).. La conception initiale du nombre chez les Arabes est héritée des Grecs et se limite aux fractions. Les grandeurs , qui correspondent à nos irrationnels, sont des proportions entre longueurs, mais ne possèdent pas le statut de nombre. Al-Khawarizmi les appelle gidr asamm, qui signifie racine muette ou aveugle. Deux siècles plus tard, pour les mathématiciens comme Omar Khayyam, les fractions ou les proportions incommensurables sont traitées dans les calculs de la même manière, les deux concepts sont appelés al-adad, qui signifie nombre (les rationnels sont désignés par le terme al-adad al muntiqa et les irrationnels par al-adad al-summa), la différence n’étant plus que philosophique..

Des outils spécifiques sont développés pour permettre le calcul plus aisé des multiplications de polynômes. Al-Samaw'al les note sous la forme d'un tableau préfigurant une représentation proche du concept moderne de polynôme formelVoir à ce sujet l’article : Construction de l'anneau des polynômes..

Géométrie au service de l’algèbre

thumb|upright=1.3|Les gnomons et la géométrie d’Euclide sont le moteur de la résolution des équations algébriques pendant plusieurs siècles. La géométrie, et particulièrement celle des Éléments d'Euclide, joue un rôle fondamental dans cette algèbre naissante. Dans le cas d’une équation du second degré et après division par le coefficient du monôme dominant, le monôme du second degré peut être vu comme l’aire d’un carré dont le côté est l’inconnue que l’on recherche. Dans le cas de l’équation du premier degré, on interprète le terme du premier degré comme l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont l’inconnue et le coefficient du monôme ; la constante est interprétée comme l’aire d’un carré parfaitement déterminé. Cette approche permet déjà à Euclide de résoudre des problèmes des premier et second degrésVoir à cet égard le Livre II des Éléments d'Euclide.. L’angle d’analyse des Arabes est différent puisqu’ils cherchent à résoudre une équation, dans ce cas particulier, du second degré. Cependant le cœur de la démonstration est le même : une analyse d’une configuration géométrique, construite sur la base d’un gnomon. De manière méthodique, l’étude du gnomon permet d’établir les trois identités remarquables source de résolution des équations du second degré.

L’approche utilisée pour étendre la théorie naissante des équations à l’équation cubique est tout aussi géométrique, mais cette fois avec des outils un peu différents. Al-Khayyām remarque qu’il est possible d’interpréter la racine de l’équation cubique comme l’abscisse de l’intersection d’un cercle et d’une paraboleVoir à ce sujet l’article : Algèbre géométrique., ce qui montre déjà l’usage de ce que l’on appellera plus tard un repère cartésien et permet de remarquer l’existence possible de plusieurs solutions.. Deux siècles plus tard, profitant des progrès tant algébriques que géométriques, Nasir ad-Din at-Tusi développe plusieurs outils dans le cadre de l’équation cubique. Le discriminant lui permet de connaître l’existence de racines positives dans certaines situations., la dérivation formelle lui permet de localiser les racines et une méthode numérique, variante de celle maintenant dite de Ruffini-Horner, permet d'approcher la racine avec la précision souhaitéeH. Bellosta indique : : « À propos de l’histoire des sciences arabes », SMF Gazette, 82, 1999..