En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel est l'espace des formes linéaires sur .

La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très souvent considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Définitions Soient un corps commutatif et un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire sur toute application linéaire de vers , c'est-à-dire toute application telle que

L'ensemble des formes linéaires sur est un K-espace vectorielN. Bourbaki, Algèbre, chap. II, paragraphe 7, section 5, p. 102-106., appelé l'espace dual de et noté E*.

Le crochet de dualité (aussi appelé appariement dual canonique) est la forme bilinéaire non dégénérée

Un plongement d'un espace vectoriel dans un autre est une application linéaire injective.

Exemple : cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire (∙|∙), cette donnée supplémentaire permet de définir un plongement naturel de E dans : l'application qui à chaque vecteur de associe la forme linéaire , . Ainsi, est isomorphe au sous-espace de .

Bases

Cas général

Soit une base (éventuellement infinie) de . Alors, la famille de formes linéaires définie par :

, où est la coordonnée de correspondant au vecteur , ou encore où est le symbole de Kronecker,

est une famille libre de , donc l'unique application linéaire de dans qui envoie (pour tout ) sur est un plongement.

Il n'est pas canonique, car il dépend du choix d'une base.

Par ailleurs, quand la dimension de est infinie, elle est strictement inférieure à celle de (d'après le théorème d'Erdős-Kaplansky), c'est-à-dire qu'aucune application linéaire de dans n'est surjective.

Dimension finie Si l'espace est de dimension finie n alors, au contraire, le plongement du paragraphe précédent devient un isomorphisme de E dans E*.

Par exemple, les polynômes de Lagrange associés à n + 1 scalaires distincts forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La base duale est formée des n + 1 fonctions d'évaluation :

Annulateur

Si est une partie de , on définit l'annulateur A° de A dans E* comme le sous-espace des formes qui s'annulent sur A (donc aussi sur le sous-espace Vect(A) engendré par A) :

A° est naturellement isomorphe au dual de l'espace vectoriel quotient . Si B est une partie de E*, on définit l'annulateur °B de B dans comme le sous-espace des vecteurs annulés par B :

Autrement dit : °B est l'intersection des noyaux des éléments de B.

Avec les notations ci-dessus, °(A°) est égal à Vect(A), tandis (°B)° contient Vect(B) ; il lui est égal dès que B est finie.

Dans le cas particulier d'un espace euclidien, de dimension finie, l'application φ définie dans le paragraphe « Exemple : cas d'un espace préhilbertien » ci-dessus est un isomorphisme de sur E*. Modulo cet isomorphisme, on retrouve alors l'orthogonalité définie par le produit scalaire ; pour cette raison, l’annulateur de A est parfois appelé orthogonal de A.

Représentation des sous-espaces Une application importante de l'étude de l'espace dual est la représentation d'un sous-espace vectoriel comme intersection d'hyperplans.

Soient un espace vectoriel et F un sous-espace. Pour toute base B de l'espace F° des formes s'annulant sur F, le sous-espace F = °(F°) = °(Vect(B)) = °B est l'intersection des noyaux des éléments de B, c'est-à-dire que pour tout vecteur x de ,

F est de codimension finie q si et seulement si B contient exactement q formes , et l'on peut alors représenter F par q équations linéaires indépendantes :

Réciproquement, soit B un ensemble fini de formes linéaires indépendantes. Alors, en notant F = °B l'intersection de leurs noyaux, B est une base de (°B)° = F°.

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droites ou de plans par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de deux plans indépendants est une droite.

Nota Bene : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

Transposition

Si et sont deux espaces vectoriels sur et une application linéaire, l'application transposée de , notée u, est l'application de F* dans E* donnée par

L'application u est linéaire pour tout u, et l'application u ↦ u est linéaire.

Si , et sont trois espaces vectoriels, on a

Dans le langage des catégories, cela signifie que l'opération qui associe à un espace vectoriel son dual est un foncteur contravariant.

Exemple élémentaire Si et , alors et on retrouve la transposition des matrices.

Bidual

On définit une application linéaire de dans par la formule

Autrement dit, est la forme linéaire sur qui à toute forme linéaire sur associe .

Contrairement aux plongements de dans , l'application est naturelle, car elle dépend de la seule donnée de .

Elle est par ailleurs injective, c'est-à-dire que pour tout vecteur non nul de il existe une forme linéaire telle que (car se complète en une base , et ⟨e*, e⟩ = 1).

Si est de dimension finie, est donc un isomorphisme (tandis que si est de dimension infinie, il n'existe aucune surjection linéaire de dans ).

Dans le cas des espaces vectoriels topologiques, la situation est sensiblement différente (voir l'article Dual topologique).

Cas d'un corps de base non commutatif

Sur un corps non commutatif, il faut distinguer les espaces vectoriels à gauche, si l'action du groupe multiplicatif est une action à gauche, et les espaces vectoriels à droite si cette action est une action à droite.

Le dual d'un espace vectoriel à gauche est un espace vectoriel à droite et vice-versa.

Soient en effet un espace vectoriel à gauche sur , et . On définit par la formule

C'est bien une application linéaire car, pour tout vecteur dans et tous scalaires et dans , on a

Ce qui précède est encore valide si l'on remplace « corps » par « anneau » et « espace vectoriel » par « module ».

Il faut remarquer au passage que si est un corps non commutatif et si et sont des -espaces vectoriels de dimension au moins 2, n'est plus un espace vectoriel, mais seulement un groupe abélien. De même, si est un anneau non commutatif et si et sont des -modules non isomorphes à , est seulement muni d'une structure de groupe abélien.

Notes et références

Voir aussi Dual d'un module Dualité (géométrie projective)

Dual d'un espace vectoriel topologique Paire duale

Catégorie:Espace vectoriel

pl:Moduł dualny#Przestrzenie liniowe