En mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur.
Algèbres de Lie
Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes :
Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne. Un autre exemple, fondamental pour ce qui suit, est le suivant. Soit V un espace vectoriel sur K. L'espace vectoriel End(V) des endomorphismes de V peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant : . On note également l'algèbre de Lie ainsi obtenue. Lorsque V est de dimension finie n, s'identifie aux matrices de taille à coefficient dans K. On la note alors .
Une sous-algèbre de Lie de est un sous-espace vectoriel de stable par le crochet de Lie, i.e. tel que .
Exemples Si est une algèbre de Lie abélienne alors tout sous-espace vectoriel de est automatiquement une sous-algèbre de Lie. Le sous-espace vectoriel de formé des matrices de trace nulle est une sous-algèbre de Lie de car pour toutes matrices A et B. Cette sous-algèbre est notée .
Un idéal d'une algèbre de Lie est un sous-espace vectoriel de tel que . Tout idéal d'une algèbre de Lie est en particulier une sous-algèbre de Lie (mais la réciproque est fausse).
Exemples Si est une algèbre de Lie abélienne alors tout sous-espace vectoriel de est automatiquement un idéal. La sous-algèbre de Lie de est un idéal.
Un morphisme entre deux algèbres de Lie et est une application linéaire telle que . Le noyau d'un morphisme d'algèbres de Lie est alors un idéal de l'algèbre de Lie source et l'image une sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Lie but. Un isomorphisme entre deux algèbres de Lie est un morphisme d'algèbres de Lie qui est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Exemples Si est une sous-algèbre de Lie de alors l'inclusion de dans est un morphisme d'algèbres de Lie, de noyau nul et d'image . Si est un idéal de alors il existe une unique structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel quotient telle que la projection canonique soit un morphisme d'algèbres de Lie. Le noyau de p est alors et son image . L'algèbre de Lie ainsi définie s'appelle l'algèbre de Lie quotient de sur . Par exemple l'algèbre de Lie quotient est isomorphe à l'algèbre de Lie abélienne .
Représentations Définitions Une représentation de l'algèbre de Lie dans un espace vectoriel V est la donnée d'un morphisme . Autrement dit, est une application linéaire qui vérifie également . On note cette représentation ou simplement lorsqu'il n'y a pas d'ambigüité possible sur . On dit aussi que V est un -module ou simplement un module. On note parfois au lieu de l'action de l'élément sur le vecteur .
Une représentation est dite fidèle si le morphisme est injectif. Dans ce cas, l'algèbre de Lie peut être vue comme une sous-algèbre de Lie de .
Une sous-représentation d'une représentation de est la donnée d'un sous-espace vectoriel W de V stable par l'action de , i.e. tel que . En particulier, pour qu'une droite vectorielle D engendrée par un vecteur v soit stable il faut et il suffit que v soit un vecteur propre commun à tous les endomorphismes . Une représentation est irréductible si elle n'admet aucune sous-représentation propre, c'est-à-dire autre que les sous-espaces et V. En particulier toute représentation de dimension 1 est irréductible, car dans ce cas les seuls sous-espaces vectoriels de V sont précisément et V. Soit une sous-représentation de . La représentation quotient est la représentation de dans l'espace quotient définie par .
Un morphisme entre deux représentations et d'une même algèbre de Lie est la donnée d'une application linéaire qui commute à l'action de , c'est-à-dire telle que . Lorsque est un isomorphisme d'espaces vectoriels, on dit que les deux représentations sont isomorphes. L'ensemble de tous les morphismes entre les représentations et forme un espace vectoriel, noté .
Le lemme de Schur est un résultat important pour la compréhension de cet espace . En voici l'énoncé :
Remarques Le premier point du lemme de Schur résulte du fait que est une sous-représentation de et une sous-représentation de . Le deuxième point du lemme de Schur résulte du fait que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins une valeur propre sur un corps algébriquement clos. Par conséquent est un morphisme de V dans V qui n'est pas un isomorphisme. D'après le premier point, il s'agit donc de l'application nulle, i.e. . Ce résultat est encore valable en dimension infinie mais nécessite la puissance du théorème spectral. Le deuxième point du lemme de Schur est faux pour un corps non algébriquement clos. Supposons par exemple . Considérons la représentation donnée par la formule . On vérifie que est une représentation irréductible de l'algèbre de Lie abélienne . Considérons et posons . Comme l'algèbre de Lie est abélienne, est un morphisme de V dans V. On peut d'ailleurs vérifier que est bien un isomorphisme. Cependant n'est pas un multiple de l'identité. Remarquons à ce propos que n'a pas de valeurs propres réelles (ce qui explique pourquoi la preuve du deuxième point du lemme n'est pas valable dans ce cas).
Exemples Une représentation d'une algèbre de Lie abélienne est une application linéaire à valeurs dans un sous-espace commutatif de l'espace des endomorphismes d'un espace vectoriel V. Par exemple, si V est de dimension finie, on peut représenter par des matrices diagonales (qui commutent entre elles). La représentation triviale de dans un espace vectoriel V est la représentation définie par . Si , on définit la représentation naturelle de comme la représentation définie par . Plus généralement la représentation naturelle d'une sous-algèbre de Lie de est définie comme l'inclusion de dans . Elle est donc à valeurs dans . La représentation adjointe d'une algèbre de Lie est la représentation définie par . Soit l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1, définie sur . Considérons l'espace . On définit une représentation de dans V par la formule , où .
Constructions de représentations Somme directe : soient et deux représentations de . On définit la représentation somme directe dans l'espace vectoriel par la formule . Dans ce cas, et sont des sous-représentations de . Produit tensoriel : soient et deux représentations de . On définit la représentation produit tensoriel dans l'espace vectoriel par la formule . Contragrédiente : soit une représentation de . On définit la représentation contragrédiente dans l'espace vectoriel dual par la formule . Espace des morphismes : soient et deux représentations de . Nous avons vu comment définir l'espace vectoriel des morphimes de V dans . On définit une représentation encore notée de sur cet espace par la formule . Restriction à une sous-algèbre de Lie : soit une représentation de . Soit une sous-algèbre de Lie de . Alors est une représentation de , appelée la restriction de à . On la note parfois par abus de notations.
Une représentation de est indécomposable si elle n'est pas isomorphe à la somme directe de deux sous-représentations propres. En particulier, toute représentation irréductible est indécomposable, mais la réciproque est fausse. Une représentation est semi-simple (ou complètement réductible) si elle est isomorphe à une somme directe de sous-représentations irréductibles (éventuellement en nombre infini). Une représentation indécomposable et semi-simple est nécessairement irréductible.
Exemples Soit l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 sur le corps . On définit une représentation de dans par la formule . Cette représentation n'est pas irréductible. Par exemple la droite engendrée par le vecteur est stable, tout comme la droite engendrée par le vecteur . Il s'agit donc de deux sous-représentations de , irréductibles car de dimension 1. Or on a . Donc la représentation est semi-simple. Avec les notations de l'exemple précédent, on peut aussi considérer la représentation dans définie par la formule . A nouveau la droite est un sous-espace stable. Donc la représentation n'est pas irréductible. Plus généralement, on peut vérifier que est la seule droite stable et donc la seule sous-représentation de . Ainsi est indécomposable. Gardons toujours les mêmes notations. On définit la représentation de dans par la formule . On peut vérifier qu'il n'y a pas de droites stables par la représentation . En d'autres termes, est irréductible.
Ces trois exemples traduisent le fait qu'une matrice réelle peut être soit diagonalisable, soit trigonalisable mais pas diagonalisble, ou ne possède pas de valeurs propres réelles. On voit ainsi que la notion de représentation d'une algèbre de Lie généralise la notion classique de réduction des endomorphismes.
Lien avec les représentations de l'algèbre enveloppante L'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie
Soit A une algèbre associative avec unité. Alors il existe sur A une structure d'algèbre de Lie pour laquelle le crochet de Lie est donné par la formule . On note parfois cette algèbre de Lie. Ainsi toute algèbre associative fournit une algèbre de Lie. Nous avons vu que est un exemple de cette construction. Peut-on donner une réciproque à ce résultat ? Peut-on construire une algèbre associative à partir d'une algèbre de Lie. Cette idée conduit à la notion d'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie.
Soit une algèbre de Lie sur K. Soit l'algèbre tensorielle de . Soit J l'idéal bilatère de engendré par les tenseurs pour tous x et y de . L'algèbre enveloppante de est l'algèbre associative unitaire définie comme le quotient . On la note . La composition s'appelle l'application canonique de dans son algèbre enveloppante. En tant qu'algèbre, est engendrée par 1 et l'image . De plus, est un morphisme d'algèbres de Lie de dans . L'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie satisfait la propriété universelle suivante :
Exemple Si est une algèbre de Lie abélienne, alors son algèbre enveloppante s'identifie à son algèbre symétrique , qui elle-même s'identifie (après choix d'une base) à une algèbre de polynômes. En particulier, est isomorphe à l'algèbre des polynômes à une indéterminée .
Représentations d'une algèbre de Lie vs Représentations de son algèbre enveloppante Soit une représentation de . Comme est une algèbre associative avec unité, la propriété universelle de implique qu'il existe un unique morphisme d'algèbres telle que . Cette opération permet donc de passer d'une représentation d'une algèbre de Lie à un morphisme d'algèbres associatives. Réciproquement, tout morphisme d'algèbres associatives donne par restriction à un morphisme d'algèbres de Lie, c'est-à-dire à une représentation de . Ce principe s'interprète comme une équivalence de catégories entre la catégorie des représentations d'une algèbre de Lie donnée et la catégorie des représentations de son algèbre enveloppante.
Ce nouveau point de vue est important car il permet de considérer de nouveaux objets fondamentaux. Le premier d'entre eux est l'annulateur d'une représentation. Soit une représentation de . Notons encore par la lettre la représentation de qu'il s'en déduit. Alors l'annulateur de V est l'ensemble . C'est un idéal bilatère de car est un morphisme d'algèbres. Tout idéal qui est l'annulateur d'une représentation irréductible de s'appelle un idéal primitif.