thumb|Trois quarts de gâteau, un quart ayant été retiré. En mathématiques, une fraction est un moyen d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'un quotient de deux entiers. Ainsi la fraction désigne le quotient de par (). Dans cette fraction, est appelé le numérateur et le dénominateur.
Une fraction représente un partage d’une entité unique : le dénominateur de la fraction représente le nombre de parts (nécessairement égales) faites dans cette entité, tandis que son numérateur représente le nombre de parts prises ou mobilisées. Pour le dire autrement, le dénominateur d’une fraction est le « tout » tandis que son numérateur est une « partie du tout », autrement dit une fraction de l’entité complète.
Une fraction est donc différente d’un rapport, ce dernier se limitant à comparer deux quantités arbitraires, et non deux quantités d’une même entité avec l’une des quantités égale au tout et l’autre égale à une partie de ce tout, comme le ferait une fraction.
Un nombre qu’on peut représenter par des fractions de nombres entiers est appelé nombre rationnel. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.
Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si est un anneau intègre, on peut créer le corps des fractions de . Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs) et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification…) que les fractions de ℚ.
Sens usuel de la fraction Définition d'une fraction
Une fraction est . Elle est représentée comme suit :
ou ou .
Le nombre du haut, noté , s'appelle le numérateur. Le nombre du bas, noté , s'appelle le dénominateur. La barre oblique ou la barre de fraction signifient que l'on divise le numérateur par le dénominateur.
Exemple : signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ». 3 est appelé numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes) 7 est appelé dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on opère.
Si on mange les d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée.
On trouve aussi les notations
où les deux-points montrent l'intention d'exprimer un rapport, ou encore
où l'obélus remplace la barre de fraction, mais exprimant l'opération de division elle-même (bien que cet usage soit déconseillé).
La notation utilisant la barre de fraction serait due à Abu Bakr al-Hassar, mais aurait été introduite en occident par Fibonacci. C'est le Suisse Rahn qui introduit l'obélus en 1659.
Modélisation d'une fraction Pour comprendre et établir les règles de maniement des fractions, il existe deux méthodes différentes : La première consiste à faire usage de la géométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figure géométrique ou d'une longueur d'un côté d'un polygone, souvent un triangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique. Une autre démarche est de nature purement algébrique. Les nombres rationnels sont construits de manière abstraite à partir de classes d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelles. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.
La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats au cas de fractions de deux nombres réels positifs. Elle est décrite dans l'article Algèbre géométrique.
Représentation d'une fraction Le but ici est de visualiser une fraction .
La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs parties.
Fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur
Le dénominateur indique le nombre de parties égales à découper dans la forme géométrique et le numérateur indique le nombre de parties égales utilisées.
Par exemple, pour représenter la fraction , le dénominateur étant 4, on divise le rectangle en 4 parties égales, puis, le numérateur étant 3, on colore seulement trois des quatre parties.
Fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur Cette fraction sera équivalente au quotient entier de par , (qui représentera le nombre d'unités) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.
Par exemple, pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1. Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc la fraction est équivalente à . Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un unique rectangle, on présente donc deux rectangles pleins suivi d'un rectangle plein seulement au tiers :
Prendre une fraction d'une quantité Pour prendre les de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :
750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc de 750 = 500
Prendre de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a. Ou plus simplement, quand on connaît les règles de calcul sur les fractions, prendre de c revient à multiplier par c. Plus généralement, on constate que le « de » est remplacé par une multiplication. Il en est de même quand on calcule 75 % de c, on doit juste calculer 75 % multiplié par c. En effet, 75 % est une fraction : 75 % = = 0,75.
Fractions équivalentes thumb|On obtient la même surface en divisant le rectangle en 3 parties et en colorant 2, qu'en divisant le rectangle en 6 parties et en colorant 4|upright=1.4 Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction équivalente. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 pour obtenir la seconde fraction.
thumb|Deux représentations équivalentes de la fraction 2/3|upright=1.4 De manière générale, les fractions et sont équivalentes dès que . Par exemple, dans la représentation ci-contre, on sait que les fractions 4/6 et 6/9 sont équivalentes car
Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que et peuvent être divisés par un même nombre. Si on prend, pour la simplification, le plus grand nombre possible on obtient une fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. On cherche, en général, à ce que ce dénominateur soit le plus petit possible, en prenant le plus petit nombre qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelle réduire au même dénominateur. Exemple pour réduire au même dénominateur les fractions 3/4, 1/6, 5/9 et 14/15, on cherche le plus petit multiple commun de 4, 6, 9, 15 qui est , et on a :
Comparaison de fractions thumb|upright=1.4|La seconde fraction est plus petite car on a pris le même nombre de parts mais les parts sont plus petites Pour un même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la fraction est grande. Dans la représentation ci-contre car Le numérateur 2 est le même pour chaque fraction. La comparaison des dénominateurs donne 3 < 5
thumb|upright=1.4|La seconde fraction est plus grande car les parts ont même taille mais on en a pris davantage Pour un même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande : dans la représentation ci-contre, on a car Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction. La comparaison des numérateurs donne 2 < 5
Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs Comparaison de 1/4 et 2/5 1/4 = 5/20 2/5 = 8/20 Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5
Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale. Comme 1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4 et que l'on sait que 0,25 < 0,4 on a 1/4 < 2/5.
Écriture décimale, écriture fractionnaire
Un nombre décimal peut s'écrire comme une fraction qui a pour dénominateur une puissance de 10.
Développement décimal Toute fraction possède un développement décimal fini ou infini périodique qui s'obtient en posant la division de par .
1/4 = 0,25 2/3 = 0,666...(période 6) 17/7 = 2,428571428571...(période 428571)
Écriture fractionnaire Inversement, tout nombre décimal, ou possédant un développement décimal périodique, peut s'écrire sous forme de fraction.
Cas du nombre décimal Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10n où n est le nombre de chiffres après la virgule :
Cas du développement décimal illimité
On commence par s'occuper de la partie entière : 3,4545... = 3 + 0,4545...
Cas du développement décimal périodique simple Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule. 0,666... ou 0,4545... ou 0,108108...
Pour le numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.
Par exemple, pour 0,4545... la période est 45 et est composée de deux chiffres, on obtient la fraction 45/99 = 5/11.
Par conséquent : 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11.
Sinon, posons x = 0,4545454545...
100x = 45,4545454545... = 45 + x donc 100x – x = 45,4545454545... – 0,4545454545... = 45 donc 99x = 45 donc x = 45/99.
Cas du développement décimal périodique mixte Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule, par exemple : 0,8333... ou 0,14666...
Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période. Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.
Exemple : 0,36981981... valeur mixte : 36 Valeur mixte suivie de la première période : 36981 Numérateur = 36981 – 36 = 36945
Dans la valeur 0,36981981..., la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement on obtient 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.
Exemple 2 : .
Nombre mixte vignette|Une grandeur peut s'exprimer par unité et fractions simples associées, souvent le demi (½), le quart (¼) et le huitième (⅛), etc. Dans l'enseignement français depuis la fin du , la fraction est définie comme le quotient de deux nombres entiers sans contrainte sur la taille du numérateur et du dénominateur, mais ce n'a pas toujours été le cas et ne l'est pas non plus dans d'autres pays.