En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe construite à l'aide des droites tangentes à la première. La courbe image s'appelle la courbe duale de la courbe de départ.

Définition On considère une courbe plane . La courbe polaire au point de par rapport à un cercle (C) (ou de cercle directeur (C)) est l'enveloppe des polaires des points de par rapport à (C) ; c'est donc l'ensemble des pôles des tangentes à par rapport à (C).

Equations La polaire par rapport au cercle de centre O et de rayon et un point est la droite des points tels que .

Si est le point courant d'une courbe , le point courant de la polaire de est défini, en coordonnées cartésiennes, par

soit, en coordonnées complexes :

La « polarisation » échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

Polaire d'une conique

La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.

Propriétés La transformation par polaires réciproques est une involution : la polaire d'une polaire par rapport au même cercle est égale à la courbe de départ. La polaire n'est pas à confondre avec la courbe inverse. D'ailleurs, l'inverse de la polaire par rapport au même cercle est la courbe podaire. La polaire d'une courbe algébrique est une courbe algébrique dont le degré est égal à la classe de la courbe de départ (c'est-à-dire le degré de l'équation tangentielle).

Exemples

Courbe de départ Position du centre du cercle directeur par rapport à la courbe de départ Position du centre du cercle directeur par rapport à la polaire Polaire Droite (polaire du point) Hors de la droite Différent du point Point (pôle de la droite) Conique Conique Foyer de la conique Cercle À l'intérieur de la conique (i.e. dans une région contenant un foyer) Ellipse À l'extérieur de la conique Hyperbole Sur la conique Parabole Cardioïde Point de rebroussement Foyer au 8/9 du segment joignant le point double au sommet Cubique de Tschirnhausen Centre du cercle conchoïdal Foyer Trisectrice de Maclaurin Deltoïde Centre Sommet Cubique duplicatrice Astroïde Centre Centre Cruciforme Cycloïde à centre Centre Centre Épi Spirale sinusoïdale de paramètre Centre Centre Spirale sinusoïdale de paramètre

Extensions aux surfaces tridimensionnelles Le concept de polaire réciproque peut être étendu aux surfaces dans l'espace ; la surface transformée devient alors une autre surface.

Voir aussi Théorème de Pascal Courbe duale

Références

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Catégorie:Géométrie projective Catégorie:Transformation géométrique