En mathématiques, le « critère d'Eisenstein », publié auparavant par Theodor Schönemann, ., donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible sur l'anneau des polynômes à coefficients rationnels .
Énoncé Considérons un polynôme à coefficients entiers, que l'on note
Supposons qu'il existe un nombre premier tel que : divise ; ne divise pas ; ne divise pas . Alors est irréductible dans l'anneau des polynômes à coefficients rationnels. Si de plus est primitif (par exemple s'il est unitaire) alors, d'après le lemme de Gauss, est irréductible dans l'anneau des polynômes à coefficients entiers.
avec élément non nul du corps fini F.
Raisonnons par l'absurde et supposons que se factorise en , où et sont des polynômes de de degrés non nuls. D'après le lemme de Gauss, on peut supposer que et sont à coefficients entiers. En réduisant modulo , on voit que et sont nécessairement des monômes }} et }}, où . En particulier, et sont divisibles par , donc est divisible par , ce qui est une contradiction. Donc est irréductible dans .}}
Exemples Considérons le polynôme
Nous examinons différents cas pour les valeurs de p suivantes : p = 2. 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure ; p = 3. 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure ; p = 5. 5 divise 15, le coefficient de , et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 52 ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que est irréductible.
Dans certains cas, le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme , appelé translation. Par exemple, considérons le polynôme cyclotomique d'indice un entier premier , c’est-à-dire le polynôme
Ce polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable après une translation . Le coefficient constant est alors égal à , le coefficient dominant est égal à 1 et les autres coefficients sont divisibles par d'après les propriétés des coefficients binomiaux.
Généralisations Eisenstein avait formulé son critère, . pour les cas où A est soit l'anneau des entiers relatifs, soit celui des entiers de Gauss. Ce sont deux anneaux principaux, mais le critère se généralise comme suit, sans modification de la démonstration, lire en ligne. :
Soit A un anneau factoriel, K son corps des fractions et un polynôme à coefficients dans A, noté . On suppose qu'il existe un élément premier de A tel que divise ; ne divise pas ; ne divise pas . Alors est irréductible dans K[X]. Si de plus est primitif, alors il est aussi irréductible dans A[X].
Plus généralement, exercice 10., si divise , ne divise pas et ne divise pas , alors l'un des facteurs irréductibles de dans A[X] est de degré .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Factorisation des polynômes Critère d'irréductibilité de Cohn Racine évidente Lien externe
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