Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique C. F. Gauss, « Theorematis arithmetici demonstratio nova », Comment. Soc. regiae sci. Göttingen, XVI, 1808. C. F. Gauss, « Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae », 1818. et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi..
Énoncé Soient un nombre premier impair et un entier non divisible par . Alors ,
où est le symbole de Legendre et est défini de la façon suivante :
ou encore, de façon équivalente :
Application La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de GaussVoir par exemple , repris dans le lien ci-dessous vers la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité..
Preuve Une preuve assez simple de ce lemmeVoir par exemple , repris dans le lien ci-dessous vers la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité. utilise le même principe que l'une des démonstrations du petit théorème de Fermat, en évaluant de deux façons le produit modulo p de ces (p – 1)/2 entiers.
Autre preuve, par la théorie du transfert De par sa définition, l'application qui à a associe (–1)n est un morphisme de transfert du groupe abélien G = (ℤ/pℤ)* dans le sous-groupe Q = {–1, +1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à am où m désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p – 1)/2, ce qui conclut.
Notes et références
Voir aussi
Lemme de Zolotarev
Catégorie:Arithmétique modulaire Gauss Catégorie:Carl Friedrich Gauss