En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée pour laquelle il existe une matrice de même taille avec laquelle les produits et sont égaux à la matrice identité.
Dans ce cas la matrice est unique, appelée matrice inverse de et notée .
Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associéIl y a différents ensembles de matrices carrées, selon la dimension et l’ensemble de coefficients choisi. Une même matrice à coefficients entiers par exemple peut être inversible dans sans l’être dans ..
Si les coefficients d’une matrice carrée sont pris dans un anneau commutatif , cette matrice est inversible si et seulement si elle représente un isomorphisme de , ce qui se traduit par un déterminant inversible. En particulier, si est un corps commutatif tel que ou , l’inversibilité est caractérisée par un déterminant non nul, mais aussi par la maximalité du rang ou d’autres propriétés de l’endomorphisme représenté. Diverses conditions plus simples peuvent s’appliquer sur certaines classes de matrices.
L’algorithme du pivot de Gauss permet un calcul exact de l’inverse mais peu robuste aux propagations d’erreurs lorsque la taille de la matrice devient trop importante. D’autres algorithmes se révèlent préférables en pratique pour une approximation de l’inverse.
Dans l’ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans un anneau , l’ensemble des matrices inversibles forme un groupe multiplicatif, appelé groupe général linéaire et noté .
La notion de matrice inverse est généralisée par celle de pseudo-inverse et en particulier les inverses à gauche ou à droite.
Inversibilité Contexte
Contrairement à la multiplication dans le corps des réels ou celui des complexes, la multiplication matricielle (même par une matrice non nulle) n’est pas toujours une opération réversible (on dit que cette loi de composition n’est pas régulière), au sens où l’égalité de deux produits n’implique pas forcément l’égalité .
De même, connaissant une matrice et une matrice , l’équation ne peut se résoudre en divisant les deux membres de l’égalité par la matrice .
L’existence d’une matrice inverse permet de résoudre ces deux problèmes, par l’équivalence suivante : . Ainsi toute matrice inversible est simplifiable pour la multiplication à gauche ou à droite.
Cependant, la résolution d’une équation matricielle de la forme , éventuellement donnée sous forme de système d'équations linéaires, ne se traite pas systématiquement par la détermination d’une matrice inverse pour . Des méthodes de décomposition comme la décomposition LU sont beaucoup plus rapides que l'inversion.
Représentation d’un isomorphisme et déterminant Toute matrice à coefficients dans un anneau commutatif définit un unique endomorphisme de module (voire d’espace vectoriel) sur :
et réciproquement, tout endomorphisme sur peut être obtenu de la sorte à partir d’une unique matrice de .
En particulier, la matrice identité est associée à l’application identité. Et comme la multiplication matricielle se traduit par la composition des applications associées (dans le même ordre), on en déduit que l’existence d’une matrice inverse est équivalente au fait que l’application associée soit un automorphisme. Ce résultat repose en partie sur la propriété fondamentale que la réciproque d’un isomorphisme de modules est aussi un isomorphisme.
La multiplicativité du déterminant appliquée à une matrice inversible permet d’écrire
donc le déterminant d’une matrice inversible est nécessairement inversible dans l’anneau des coefficients.
Réciproquement, le produit d’une matrice avec la transposée de sa comatrice donne la formule de Laplace
donc dès lors que le déterminant est inversible dans l’anneau des coefficients, la matrice est une inverse pour .
En particulier, une matrice à coefficients entiers admet une inverse à coefficients entiers si et seulement si son déterminant vaut 1 ou −1.
Cas des coefficients dans un corps Caractérisations Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif K (par exemple le corps ℝ des réels). Les propositions suivantes sont équivalentes (on note X une matrice colonne à n éléments dans K)Voir par exemple , ou le chapitre sur l'inverse, dans la leçon de Wikiversité sur les matrices . : A est inversible, le déterminant de A est non nul ; A possède n pivots ; 0 n'est pas valeur propre de A ; le rang de A est égal à n ; le système linéaire homogène AX = 0 a pour seule solution X = 0 ; le noyau de A est l'espace nul : Ker(A)={0}; pour tout b dans M(K), le système linéaire AX = b a au plus une solution ; pour tout b dans M(K), le système linéaire AX = b a au moins une solution ; les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de K, sont linéairement indépendantes ; les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de K, engendrent K ; l'endomorphisme canoniquement associé à A (c’est-à-dire l'application linéaire de K dans lui-même qui a pour matrice A dans la base canonique) est injectif ; l'endomorphisme canoniquement associé à A est surjectif ; la matrice A est inversible à gauche, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B carrée d'ordre n telle que BA = In ; la matrice A est inversible à droite, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B carrée d'ordre n telle que AB = In ; la transposée tA de A est inversible ; il existe un polynôme annulateur de A dont 0 n'est pas racine ; 0 n'est pas racine du polynôme minimal de A ; A est équivalente à la matrice identité In d'ordre n.
Cas particuliers Lorsque l’ensemble des coefficients est un corps, une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n’a aucune colonne nulle.
Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Les matrices de permutation, transvection, symétrie ou rotation et les matrices de passage sont toujours inversibles.
La matrice de variance-covariance d’une famille de variables aléatoires réelles est inversible sauf s’il existe une relation affine presque sûre entre ces variables.
La matrice compagnon d’un polynôme est inversible si et seulement si ce polynôme a un coefficient constant non nul.
Autres ensembles de coefficients Pour des matrices à coefficients dans un anneau non commutatif, voire dans un semi-anneau, la détermination de l’inversibilité ne peut plus s’appuyer sur la notion de déterminant.
L’ensemble des matrices carrées de quaternions se plonge naturellement comme sous-algèbre dans l’ensemble des matrices complexes de taille double, sur lequel le déterminant induit alors une fonction complexe dont l’annulation caractérise les matrices singulières. L’existence d’une inverse à gauche est encore équivalente à celle d’une inverse à droite (et ces deux inverses coïncident)Fuzhen Zhang, Quaternions and Matrices of Quaternions, Linear Algebra and its Applications 251:21–57 (1997)..
Avec des coefficients booléens, munis des lois de composition interne OU et ET, les seules matrices inversibles sont les matrices de permutation, dont l’inverse égale à la transposéeD. E. Rutherford, Inverses of Boolean matrices, Glasgow Mathematical Journal, Volume 6:1, janvier 1963, p. 49–53, DOI: https://doi.org/10.1017/S2040618500034705..
Inversion
De multiples méthodes permettent de déterminer l’inverse d’une matrice.
Résolution de système Étant donné une matrice carrée de taille , la détermination d’une matrice satisfaisant la relation peut s’exprimer par un système avec équations linéaires et autant d’inconnues.
Cependant, même pour de faibles valeurs de , il est beaucoup plus simple de résoudre un système traduisant l’égalité où est une matrice colonne de inconnues et est une matrice colonne de paramètres littéraux. L’expression des inconnues en fonction des paramètres s’écrit sous forme matricielle et la matrice ainsi définie est la matrice inverse de .
La résolution de ces systèmes s’appuie en général sur le processus d’élimination de Gauss-Jordan, aussi appelé algorithme du pivot de Gauss.
Méthode des cofacteurs
Si le déterminant d'une matrice (à coefficients dans un corps commutatif) est non nul, alors est inversible, son inverse étant donnée par :
où est la transposée de la comatrice de . En effet (cf. article détaillé), toute matrice carrée d'ordre vérifie : .
Cette écriture permet un calcul aisé de l'inverse d'une matrice de petite dimension. Pour des matrices de plus grande dimension (dès que ), cette méthode essentiellement récursive devient inefficace.
Inversion des matrices 2×2 L'équation des cofacteurs ci-dessus permet de calculer l'inverse des matrices de dimensions 2×2 : si ,
,
.
Exemple
.
Inversion des matrices 3×3 De même, on obtient l'inverse d'une matrice de dimension 3×3 en calculant son déterminant (par la règle de Sarrus, par exemple) :
puis en utilisant la formule :
.
Polynôme annulateur Si une matrice carrée possède un polynôme annulateur à coefficients dans un corps commutatif et de terme constant non nul, alors elle est inversible : pour tout polynôme
on a..
avec (pour k = 1) A = I, où n est l'ordre de la matrice carrée A.
Réciproquement, si A est inversible, alors il existe de tels polynômes : le polynôme caractéristique P(X) = det(XI – A) est un polynôme annulateur de A d'après le théorème de Cayley-Hamilton, or son terme constant P(0) = (–1)det(A) est non nul si (et seulement si) A est inversible ; le polynôme minimal de A est de degré inférieur ou égal au degré n de P. Ses racines sont, comme pour P, les valeurs propres de A. Son terme constant est donc non nul si (et seulement si) 0 n'est pas valeur propre, c'est-à-dire si A est inversible.
Inversion par bloc
L'inverse d'une matrice peut également être calculée par blocs, en utilisant la formule analytique suivante :
où , , et sont des blocs de taille arbitraire, sous réserve que soit inversible ainsi que son complément de Schur . Cette méthode peut se révéler avantageuse, par exemple, si est diagonale et si son complément est une matrice de petite dimension, puisque ce sont les seules matrices à inverser.
Cette technique a été inventée par Volker Strassen, connu également pour l'algorithme de Strassen sur le produit matriciel rapide.
Si est inversible ainsi que son complément , on a la formule duale : . (Si les matrices et sont toutes deux inversibles ainsi que leurs compléments, on peut combiner ces deux formules en choisissant, pour chacun des quatre blocs de la matrice inverse, l'une des deux expressions fournies.)
Cette relation permet de montrer que la complexité algorithmique de l'inversion de matrice est la même que celle du produit matriciel.
Factorisation LU
Groupe des matrices inversibles Les matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un anneau K forment un anneau, noté M(K). L'ensemble des matrices inversibles de M(K) forme donc un groupe pour la multiplication : le groupe des inversibles de M(K). On l'appelle groupe général linéaire et on le note habituellement GL(K). Par conséquent : la matrice inverse d'une matrice inversible A est elle-même inversible, et (A−1)−1 = A ; le produit de deux matrices inversibles A et B (de même ordre) est une matrice inversible et son inverse est donné par la relation suivante (AB)−1 = B−1A−1 (différent en général de A−1B−1, sauf si A et B commutent, par exemple si A ou B est une matrice scalaire et si l'anneau K est commutatif).
Toute matrice qui commute avec une matrice inversible A commute aussi avec A.