vignette|Srinivasa Ramanujan qui est à l'origine de l'idée des nombres taxicab. En mathématiques, un nombre taxicab, ou nombre de Hardy–Ramanujan, est un entier naturel qui peut s'exprimer comme somme de deux cubes strictement positifs de deux façons différentes au moins, à l'ordre des opérandes près. L'appellation "taxicab" provient du fait que le plus petit d'entre eux, 1729, était le numéro d'un taxi dans une anecdote rapportée par le mathématicien Hardy.
On note ou , le plus petit nombre taxicab qui peut être exprimé de façons distinctes comme somme de deux cubes strictement positifs. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1938, Thm. 412. que ce nombre existe pour tout entier ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment le construire.
La suite croissante des nombres taxicab est répertoriée comme , et celle des comme .
Histoire Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du , rapporte l'anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan. : En effet, . Et Hardy conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes) qu'il ()..
D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :
fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657.. Les nombres postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs ; John Leech obtint en 1957., E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent en 1991. et David W. Wilson trouva en 1999..
Message électronique de Randall L. Rathbun en 2002.. fut confirmé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list en 2008NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10)..
Variantes
Autorisation de cubes négatifs Le n-ième nombre cabtaxi est défini comme le plus petit entier naturel non nul pouvant s'écrire de façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs. Pour , c'est .
Autres puissances
Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est , et c'est Euler (1707-1783) qui l'a trouvé :
Nombres connus Le nombre taxicab d'ordre 1 correspond au plus petit entier décomposable en une unique somme de deux cubes entiers positifs non nuls, à l'ordre des opérandes près. Il s'agit de l'entier 2, représenté par l'équation diophantienne. :
Les pour de 2 à 6 sont :
Majorants de nombres taxicab On connait des nombres décomposables en plus de six manières, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab. L'entier est le plus petit qui est somme de deux cubes de façons différentes. Si on trouve un entier qui est somme de deux cubes de façons différentes, on a donc . Les majorants suivants ont ainsi été découverts en 2008. :
Des majorants de (nombres taxicab à décompositions) ont également été trouvés pour tous les entiers compris entre 13 et 22.. On a ainsi :
Les décompositions des majorants de à sont disponibles sur un programme github.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes Nombre cabtaxi Nombre taxicab généralisé Équation diophantienne Conjecture d'Euler Conjecture de Beal
Problème de Prouhet-Tarry-Escott Quadruplet pythagoricien Sommes de puissances
Liens externes
Suite de l'OEIS
Taxicab Catégorie:Srinivasa Ramanujan