L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au , le développement des connaissances mathématiques s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du et surtout au , le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines mathématiques.
Préhistoire
L'os d'Ishango datant de plus de est généralement cité comme la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication, mais cette interprétation reste sujette à discussions. Certaines céramiques de la culture de Halaf, dans le nord de la Mésopotamie, ont été cuites vers 6000 avant J.-C. et arborent des décorations faites de motifs d'inspiration florale qui montrent un sens de la symétrie mais aussi des séries de nombres : des bols comprennent des séries de pétales (4, 8, 16, 32) et même des groupes de 64 fleurs. Il est dit que les mégalithes en Égypte au millénaire avant notre ère ou en Angleterre au millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens. En avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance empirique et technique de la géométrie, sans qu'il soit toutefois possible de certifier que ces constructions aient été pensées par l'emploi méthodique des mathématiques.
Ces questions ont conduit à un domaine de recherche que l'on appelle l'ethnomathématique, qui se situe à la frontière de l'anthropologie, de l'ethnologie et des mathématiques et qui vise entre autres à comprendre l'essor progressif des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés.
De Sumer à Babylone
vignette|Plimpton 322, une tablette babylonienne énumérant les triplets pythagoriciens On attribue généralement le début de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigationArnold Toynbee, La grande aventure de l'humanité, chap. 6. et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de kilomètres de Bagdad), ont été découvertes au des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.)Babylonian expedition voir ce document.. On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carréesLa tablette YBC 7289 prouve qu'ils connaissaient une valeur approchée de la racine carrée de deux au millionième près., racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précisionTablettes de Nippur.. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de triplets pythagoriciensPar exemple, la tablette Plimpton 322. suggérant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes..
Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique, ..
Égypte
vignette|droite|Le papyrus Rhind, retrouvé dans les années 1850, contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage. Deuxième période intermédiaire, vers 1550 av. J.-C. British Museum. Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le Papyrus Rhind (Deuxième Période intermédiaire, ) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le Papyrus de Moscou (1850 ) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances, et .. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Sciences égyptiennes). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de π* Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004, . Le livre reproduit les hiéroglyphes, donne leur traduction et procède à un examen critique du texte.. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.
Chine
vignette|Lamelles de bambou de Tsinghua. Cette collection de lamelles servait vraisemblablement de table de multiplication. La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Jiǔzhāng Suànshù ou Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique. Traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire., daté du , mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le et le puis entre le et le .
Civilisations précolombiennes
vignette|Exemple de quipu.
La civilisation maya s'étend de 2600 jusqu'à 1500 ans avec un apogée à l'époque classique du au . Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour du ). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, de Paris, de Madrid et Grolier) dont le dernier est peut-être un faux.
La civilisation Inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaineMarcia Ascher, Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles, Éditions du Seuil, 1998.. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.
Inde
vignette|Statue d'Aryabhata. La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les Śulba-Sūtras (de 800 jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal.
Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste () pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme x qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'Aryabhata (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670). Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes.
Grèce antique
vignette|Machine d'Anticythère, le plus ancien calculateur analogique connu.
À la différence des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs.
La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle.
Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 – -547), Pythagore (-580 – -490) et l'école pythagoricienne, Hippocrate (-470 – -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 – -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 – -369) puis Euclide.