En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée par rapport au temps de la position d'un objet en mouvement est la vitesse (instantanée) de l'objet.
La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La dérivée en un point d'une fonction de plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point et n'est pas traitée ici.
La dérivée d'une fonction en est usuellement notée ou .
On utilise aussi des notations spécifiques, en particulier en physique, pour désigner la dérivée par rapport au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre (), la dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. Cette notation est appelée « notation de Newton ». On utilise dans le même esprit les notations prime () et seconde () pour noter les dérivées par rapport à l'espace.
En analyse, le nombre dérivé en un « point » (réel) d'une fonction à variable et valeurs réelles est la pente de la tangente au graphe de au point . C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de en ; ce nombre n'est donc défini que si cette tangente existe. La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse permettant d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.
En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée, par rapport au temps, de sa vitesse.
On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champ complexe et on parle alors de dérivée complexe. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables.
Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel.
Histoire Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment. L'histoire du calcul infinitésimal remonte même à l'Antiquité, avec Archimède.
La notion de nombre dérivé a vu le jour au dans les écrits de Leibniz et ceux de Newton, qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». C'est à Lagrange (fin du ) que l'on doit la notation , aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de en . C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.
Approche à partir de la pente de la tangente alt=|vignette|214x214px|Un graphique d'une fonction (dessinée en noir) et une ligne tangente à cette fonction en un point (dessinée en rouge). La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction au point marqué.
Pour approcher cette notion de manière graphique, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse » ; on dira là que la fonction associée est dérivable.
Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte » (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante.
Si on se donne une abscisse pour laquelle la fonction est dérivable, on appelle nombre dérivé de en le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse . Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change.
Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point (pour plus de détails, voir Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée). Si de plus le nombre dérivé change de signe en ce point, alors la fonction admet un extremum local (minimum ou maximum) ; sinon, on obtient ce qu'on appelle un point d'inflexion et ainsi la courbe change de concavité.
Définition formelle Soit une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux (c'est-à-dire non vides et non réduits à un point), et appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition .
Pour tout tel que , on appelle taux d'accroissement de en et avec un pas de la quantité :
Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées et .
Si admet une limite finie lorsque tend vers 0, on dit que est dérivable en , auquel cas le nombre dérivé de en est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :
ou, de manière équivalente :
Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.
Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la pente de la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point :
centré|vignette|260x260px|Une sécante s'approche d'une tangente quand .
La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que .
Par exemple, une fonction d'une variable réelle, à valeurs dans , est dérivable en si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de . C'est un cas particulier de fonctions d'une variable vectorielle et à valeurs dans un espace vectoriel normé ou métrique.
Dérivabilité et lien avec la continuité
Typiquement, une fonction est dérivable si elle ne présente pas « d'aspérité », de rupture de pente ni de partie « verticale ».
vignette|Fonction signe.
Une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas dérivable. Prenons l'exemple d'une fonction qui fait un saut. On ne peut pas définir de tangente, la limite du taux de variation est infinie (la pente de la courbe est verticale). C'est le cas par exemple de la fonction signe en 0 : à gauche de 0, i.e. , ; en 0 : ; à droite de 0, i.e. , ; le taux de variation pour une largeur , vaut donc
et tend vers quand tend vers 0. Par contre, on peut définir une dérivée à gauche — dérivée partout nulle (tangente horizontale) sur — et une dérivée à droite — dérivée également nulle sur .
vignette|Fonction valeur absolue. vignette|Fonction racine cubique.
Si une fonction est dérivable en un point alors elle est continue en ce point, mais la réciproque est fausse.
Par exemple : la fonction valeur absolue est continue mais n'est pas dérivable en 0 : à gauche de 0, i.e. , la pente vaut ; à droite de 0, i.e. , la pente vaut . Il y a une tangente à gauche et une tangente à droite différentes, la pente en 0 n'est pas définie ; le taux de variation n'a pas de limite définie. C'est le cas général pour les courbes présentant un point anguleux.
Il en est de même de la fonction racine cubique, qui a une tangente verticale en : le taux de variation a une limite infinie.
De plus, une fonction continue en un ensemble ne garantit pas que la fonction soit dérivable en cet ensemble (ouvert), comme contre-exemple la fonction de Weierstrass est continue sur mais dérivable nulle part.
Fonction dérivée La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais à toute fonction on peut associer sa fonction dérivée (prononcée « prime »), donnée par
où est le domaine de dérivabilité de (le sous-ensemble de constitué des points en lesquels est dérivable).
Les fonctions dérivées sont utilisées notamment dans l'étude des fonctions réelles et de leurs variations.
La seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa dérivée — c'est-à-dire solution de l'équation différentielle — est la fonction exponentielle de base . prennent cette propriété, avec la condition , comme définition de l'exponentielle.
Notations Il existe différentes notations pour exprimer la valeur de la dérivée d'une fonction en un point . On distingue : la notation de Lagrange, section 575, . : ; la notation de Leibniz : ou . En physique, on note parfois . Cette dernière notation n'est pas rigoureuse car est un nombre constant, qui peut être vu comme une fonction constante : rigoureusement, on a donc ; la notation de Newton, . : qui est plutôt utilisée en physique pour désigner une dérivée par rapport au temps (on parle alors de calcul des fluxions) ; la notation d'Euler : .
Ces notations permettent également d'écrire des dérivées itérées, cela se fait en multipliant le prime ou le point dans la notation (par exemple une dérivée seconde peut s'écrire ou ).
Dérivées usuelles et règles de dérivation
peut souvent se calculer directement à partir d'une expression de , lorsqu'il s'agit d'une fonction « simple », en utilisant la table des dérivées usuelles. Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linéaire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composée, on utilise un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée plus haut. Les règles les plus couramment utilisées sont les suivantes : Nom Règle Conditions Constante Quel que soit le réel Constante Multiple Quels que soient le réel et la fonction dérivable (cas particulier de la règle du produit) Linéarité Quels que soient le réel et les fonctions dérivables et . Produit Quelles que soient les fonctions dérivables et . Inverse Quelle que soit la fonction dérivable qui ne s'annule pas (cas particulier de la ligne suivante) Quotient Quelles que soient la fonction dérivable et la fonction dérivable qui ne s'annule pas Composée Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) et Réciproque Quelle que soit la fonction bijective de réciproque , dérivable de dérivée ne s'annulant en aucun point
En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :
Nom Règle Conditions Puissance Quel que soit , et même quel que soit si Racine Quelle que soit la fonction dérivable strictement positive (cas particulier de la ligne précédente) Exponentielle Quelle que soit dérivable Logarithme Quelle que soit la fonction dérivable strictement positive Logarithme népérien Quelle que soit la fonction dérivable strictement positive (cas de la ligne précédente)
Dérivation numérique Principe vignette|Principe de la dérivation numérique.
Dans le cas d'une courbe expérimentale, on ne possède pas de fonction explicite pour la décrire, mais une série de valeurs . On a donc recours à une dérivation numérique, qui consiste simplement à approcher la valeur de la dérivée en un point par le taux de variation entre les points précédent et suivant :