La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari (1540) permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation. Elle fournit pour les quatre solutions, sous une apparence différente, la même formule que celle des méthodes ultérieures de Descartes (1637) et de Lagrange (1770).

Principe de la méthode On ramène d'abordCette étape préalable ne simplifiant pas la suite, certains auteurs s'en dispensent : voir , , ou la fin du chapitre « Méthode de Ferrari » sur Wikiversité (lien ci-dessous). l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme .

Le point central de la méthode.. consiste à remplacer ensuite le monôme par le polynôme , paramétré par , et à trouver une valeur de convenable, qui permette d'écrire comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains auteurs.. préfèrent commencer par une complétion du carré, , ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre (.), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange ().

Mise en œuvre

Le terme , vu comme polynôme en , s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, , est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée cubique résolvante : , en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution , puis , (éventuellement complexes) tels que : , l'équation initiale devient :

ou encore : , ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs : .

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour , soit quatre valeurs en tout.

Presque tous les auteurs excluent implicitementÀ l'exception, au moins, de . le cas où est nul (qui conduirait à une division par dans la définition ci-dessus de ). Mais dans ce cas, donc l'équation est simplement une équation bicarréePour plus de détails sur le cas , voir par exemple .

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité et ses exercices.

Notes et références

Voir aussi

Méthode de Lagrange Méthode de Descartes

Catégorie:Équation polynomiale