En informatique théorique, plus précisément en théorie de la complexité, le problème 3-SAT est un problème surtout utilisé pour démontrer que d'autres problèmes sont NP-difficiles. C'est l'un des 21 problèmes NP-complets de Karp.
Description
Il s'agit de la restriction du problème SAT aux formules qui sont des formes normales conjonctives avec au plus 3 littéraux (ou exactement 3 selon les sourcesPour « au plus 3 », voir .). Voici un exemple d'une telle forme normale conjonctive :
La formule ci-dessus a 4 clauses, 5 variables et trois littéraux par clauses. Il s'agit de déterminer si l'on peut attribuer une valeur Vrai ou Faux à chaque variable de façon à rendre toute la formule vraie.
NP-difficulté En 1972, Richard M. Karp réduit SAT à 3-SAT afin de démontrer que 3-SAT est NP-difficile. Cette démonstration est présente dans beaucoup d'ouvrages d'algorithmique et de théorie de la complexité.
Utilisation pour les preuves de NP-complétude
Comme 3-SAT est NP-difficile, 3-SAT a été utilisé pour prouver que d'autres problèmes sont NP-difficiles. Richard M. Karp, dans le même article, montre que le problème de coloration de graphes est NP-difficile en le réduisant à 3-SAT en temps polynomial.
Variantes Jan Kratochvil introduit en 1994 une restriction 3-SAT dite planaire qui est aussi NP-difficile. Il s'agit de la restriction de 3-SAT où le graphe biparti composé des variables et des clauses, où on relie une variable à une clause si cette clause contient cette variable, est planaire. D'ailleurs, le problème est toujours NP-difficile si chaque clause contient 3 littéraux et chaque variable apparaît dans au plus 4 clauses.
not-all-equal 3-satisfiability (NAE3SAT) est la variante où on demande que les trois variables dans une clause n'aient pas toutes les trois la même valeur de vérité.
Voir aussi 2-SAT, le problème restreint aux clauses de taille 2, qui est de complexité polynomiale
Notes et références
SAT