En géométrie différentielle, le lemme de Poincaré est un résultat fondamental sur les formes différentielles. Il donne une condition pour qu'une forme différentielle fermée soit exacte et constitue donc une réciproque partielle du théorème de Schwarz.

Notions préliminaires Formes différentielles, forme fermée et forme exacte

Une k-forme différentielle sur une variété différentielle est un champ de formes k-linéaires alternées sur les espaces tangents . Elle s'écrit localement comme

où les coefficients sont des fonctions lisses.

Les formes différentielles sont munies d'un opérateur appelé dérivée extérieure, qui transforme une k-forme en une (k+1)-forme. Sa propriété fondamentale est .

Une k-forme sur une variété est dite : fermée si sa dérivée extérieure est nulle : ; exacte si est une dérivée extérieure : pour une (k – 1)-forme , dite primitive de .

De la condition , on en déduit que toute forme exacte est fermée. En revanche la réciproque est fausse, par exemple sur est fermée mais n'est pas exacteIl est possible d'intégrer localement , mais la topologie de empêche de construire une primitive définie sur tout l'ensemble. Pour le voir considérons le cercle unité parcouru une fois dans le sens direct. L'intégrale de le long de ce cercle vaut . Or l'intégrale d'une forme exacte sur tout lacet fermé est nulle. La forme ne peut donc pas être exacte..

Espace contractile

Un espace topologique est dit contractile s'il peut être continûment déformé en un point. Formellement, cela signifie qu'il existe une homotopie entre l'identité et une application constante de , ou de manière équivalente que se rétracte par déformation sur un pointCette condition est plus forte que la trivialité de tous les groupes d'homotopie de , mais est équivalente si est une variété différentielle.. En particulier, tout espace étoilé est contractile.

Tout espace contractile est simplement connexe, mais il existe des variétés simplement connexes non contractiles, comme les sphèresUne variété compacte sans bord ne peut jamais être contractile ; voir .

Énoncé

En particulier, le lemme de Poincaré s'applique directement aux espaces étoilés de , puisque tout espace étoilé est contractile. Ainsi, sur un ouvert étoilé, toute forme différentielle fermée de degré strictement positif est exacte. Pour les 1-formes différentielles, l'hypothèse de contractilité peut être affaiblie en simple connexité.

Enfin toute variété différentielle est localement euclidienne et donc localement étoilée. Cette propriété implique que sur une variété différentielle quelconque, toute forme fermée de degré strictement positif est localement exacte.

Démonstrations

La preuve du lemme de Poincaré peut être obtenue de plusieurs manières. La preuve directe construit explicitement une primitive par intégration le long des segments reliant un point fixé à . Une démonstration pour les 1-formes sur un ouvert étoilé de est donnée donné ci-dessous. Pour étendre cette démonstration à une variété simplement connexe quelconque, il suffit de remplacer les segments par des chemins et le théorème de Green par celui de Stokes.

Montrons que toute 1-forme fermée sur est exacte, c'est-à-dire qu'elle est la différentielle d'une 0-forme (une fonction).

Supposons que est étoilé autour de , définissons une fonction sur par des intégrales curvilignes sur des segments :

et montrons que en tout point de , c'est-à-dire que (pour fixé et pour tout dans une boule de centre incluse dans ) :

D'après le théorème de Green appliqué au triangle , on a (puisque est fermée)

Or par continuité de au point ,

On a donc bien :

Cette méthode peut être généralisée à des formes de toute dimension en remplaçant l'intégrale curviligne par une . Le rôle du théorème de Green ou Stokes dans la preuve des 1-formes est alors joué par la formule d'homotopie . Si , et est constant, alors .

Une preuve plus élémentaire existe en dimension deux, en intégrant successivement les coefficients d'une forme fermée par rapport aux coordonnées. Une autre preuve utilise la formule de Cartan et montre directement que l'homotopie entre l'identité et une application constante induit une homotopie entre les opérateurs différentiels correspondants.

Histoire

Conséquences et applications

Cohomologie de De Rham

Pour une variété différentielle , la cohomologie de De Rham mesure l'obstruction à exprimer une forme différentielle fermée comme la différentielle d'une forme de degré inférieur, c'est-à-dire comme une forme exacte. Formellement, les formes différentielles définissent un complexe de cochaînes appelé complexe de De Rham :

Le k-ième groupe de cohomologie de De Rham est défini comme le quotient de l'espace des formes différentielles fermées de degré k par celui des formes exactes .

Exprimé en ces termes, le lemme de Poincaré dit que les groupes d'une variété contractile sont triviaux pour tout k strictement positif. C'est un cas particulier d'un résultat plus général concernant les applications homotopes : deux applications homotopes induisent la même application en cohomologie de De Rham. Le lemme de Poincaré correspond au cas où l'identité est homotope à une application constante.

Par ailleurs, comme le noyau de correspond au faisceau des fonctions localement constantes, la version locale du lemme de Poincaré montre que le complexe de de Rham augmenté :

est exact.

En algèbre homologique, cela signifie que le complexe de de Rham constitue une du faisceau constant . Cette propriété structurelle fonde le théorème de de Rham, qui établit l'équivalence entre la cohomologie de De Rham et la cohomologie singulière en identifiant cette dernière à une cohomologie de faisceaux. Grâce à ce théorème, la trivialité des groupes de cohomologie des espaces contractiles peut également être démontrée par des arguments purement topologiques.

Électrodynamique

Notes et références Notes

Références

Voir aussi Articles connexes Cohomologie de De Rham Théorème de De Rham

Bibliographie

Liens externes

Poincare Catégorie:Analyse à plusieurs variables Catégorie:Forme différentielle Catégorie:Nommé d'après Henri Poincaré