Un nombre octaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un octaèdre régulier, ou deux pyramides placées ensemble, l'une placée sur l'autre renversée.
Le nombre octaédrique d'ordre , correspondant au cas où il y a points sur chaque arête de l'octaédre, est donné par la formule :
. Les dix premiers nombres octaédriques sont :1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 ().
La série génératrice des nombres octaédriques est la fraction rationnelle :
Obtention du nombre octaédrique d'ordre n
Comme somme de deux nombres pyramidaux O peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs :
Par la construction générale des nombres polyédriques réguliers
On obtient ici à partir de la relation : ,
où sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'octaèdre, son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et le nombre m-gonal d'ordre n .
On obtient donc .
D'où .
Nombre octaédrique tronqué Si l'on retranche à chacun des 6 sommets de la construction précédente à l'étape une pyramide à base carrée à l'étape , on obtient les nombres octaédriques tronqués : : 1, 38, 201, 586, 1289, 2406, 4033, 6266, 9201, 12934,... () .
Références
Articles connexes Conjectures de Pollock Nombre octaédrique centré Nombre 4-hyperoctaédrique Nombre hyperoctaédrique
Liens externes
Octaedrique