En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes : une projection linéaire associée à une décomposition d'un espace vectoriel E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ; une application linéaire idempotente : elle vérifie .

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application. :

Propriétés Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (), d'image et de noyau . Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant . On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : et .

Projecteurs de même image Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p. Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, r = r et imp ⊂ imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires Un espace vectoriel est somme directe de sous-espaces vectoriels si et seulement s'il existe une famille de projecteurs (pour ) vérifiant : et si .

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

En caractéristique différente de 2, p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p = p, ou que s = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note une base de avec des vecteurs de et des vecteurs de (ce qui est possible, car l'image et le noyau de sont supplémentaires), alors la matrice de dans cette base adaptée s'écrit :

On a donc les propriétés suivantes : sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ; les autres coefficients sont nuls.

Utilité des projecteurs

En géométrie projective En géométrie projective, un projecteur intervient. Considérons un exemple élémentaire : Soit l'espace projectif associé. Soit et une droite projective ne passant pas par . Soit un représentant de et soit la projection sur parallèlement à .

Ce projecteur permet de définir par passage au quotient la projection centrale , projection de centre sur la droite .

Ce type de projection est un fondement important de la géométrie projective.

En géométrie affine Les projections affines sont associées à des projecteurs linéaires.

En théorie des séries de Fourier

Les coefficients de Fourier sont des composantes de projetés dans un espace fonctionnel adéquat.

Notes et références

Catégorie:Application linéaire