Un système sénaire est un système de numération de base six.
La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 6410 = 1446, 14410 = 4006.
Notation Numéro de puissance Les nombres sénaire n'utilisent que six chiffres, l'augmentation des chiffres est plus rapide que les autres bases. Mais, les exposants de deux et trois sont égaux, cela peut être exprimé par : 10(6) = 2(6) × 3(6).
En particulier, six et dix ont la même structure dont les facteurs premiers ont les mêmes exposants. Aussi, six à la 4n-ième puissance (10) est proche de dix à la 3n-ième puissance (14). Par exemple: 1.0000(6) = 1.296(10) (équivalent à kilo) 1.0000.0000(6) = 1.679.616(10) (équivalent à méga) 1.0000.0000.0000(6) = 2.176.782.336(10) (équivalent à giga) 1.0000.0000.0000.0000(6) = 2.821.109.907.456(10) (équivalent à tera)
Factorisation des nombres premiers de base Sénaire : 10 = 2×3 Décimal : 10 = 2×5 Duodécimal : 10 = 2×3 Vicésimal : 10 = 2×5
+ puissance de six par la notation sénaire Exposant Sénaire Equivalent en décimal Equivalent en duodécimal Equivalent en vicésimal 1 10 6 6 6 2 100 6 = 36 6 = 30 6 = 1G 3 1 000 6 = 216 6 = 160 6 = AG 4 10 000 6 = 1 296 6 = 900 6 = 34G 5 100 000 6 = 7 776 6 = 4 600 6 = J8G 10 1 000 000 6 = 46 656 6 = 23 000 6 = 5 GCG 11 10 000 000 6 = 279 936 6 = 116 000 6 = 1E JGG 12 100 000 000 6 = 1 679 616 6 = 690 000 6 = A9 J0G 13 1 000 000 000 6 = 10 077 696 6 = 3 460 000 6 = 32J E4G 14 10 000 000 000 6 = 60 466 176 6 = 18 300 000 6 = IHI 58G 15 100 000 000 000 6 = 362 797 056 6 = A1 600 000 6 = 5 D79 CCG 20 1 000 000 000 000 6 = 2 176 782 336 6 = 509 000 000 6 = 1E 04H FGG 21 10 000 000 000 000 6 = 13 060 694 016 6 = 2 646 000 000 6 = A4 196 F0G 22 100 000 000 000 000 6 = 78 364 164 096 6 = 13 230 000 000 6 = 314 8G0 A4G 23 1 000 000 000 000 000 6 = 470 184 984 576 6 = 77 160 000 000 6 = I76 CG3 18G 24 10 000 000 000 000 000 6 = 2 821 109 907 456 6 = 396 900 000 000 6 = 5 A3J GGI 8CG 25 100 000 000 000 000 000 6 = 16 926 659 444 736 6 = 1 A94 600 000 000 6 = 1D 13J 11A BGG 30 1 000 000 000 000 000 000 6 = 101 559 956 668 416 6 = B 483 000 000 000 6 = 9I 73E 693 B0G
Notation des nombres entiers Du sénaire au décimal Voici les premiers nombres de 1 à 40 et de 91 à 110 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.
Sénaire 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32 Décimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Sénaire 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50 51 52 53 54 55 100 101 102 103 104 Décimal 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Sénaire 231 232 233 234 235 240 241 242 243 244 245 250 251 252 253 254 255 300 301 302 Décimal 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Sénaire exprime six comme "10", neuf (9) comme "13" à savoir "six plus trois", dix (décimal 10) comme "14" à savoir "six plus quatre", douze (décimal 12) comme "20" à savoir "deux six", seize (décimal 16) comme "24" à savoir "deux six et quatre".
Les chiffres des multiples de trois se terminent par 3 ou 0, par exemple décimal 18 (dix-huit) est exprimée en "30" (trois six), décimal 15 (dix et cinq) est exprimée en "23" (deux six et trois), décimal 27 (deux dix et sept) est exprimée en "43" (quatre six et trois).
Numéros de plus de 100 (décimal 36), par exemple décimal 81 est exprimée en "213" pour dire "deux des six carrés, six et trois", décimal 100 est exprimée en "244" pour dire "deux des six carrés, quatre six et quatre".
Décomposition de la notation 810 = 126 = 1×6 + 2 1010 = 146 = 1×6 + 4 1210 = 206 = 2×6 2710 = 436 = 4×6 + 3 3010 = 506 = 5×6 3610 = 1006 = 1×62 4910 = 1216 = 1×62 + 2×61 + 1 5610 = 1326 = 1×62 + 3×61 + 2 6410 = 1446 = 1×62 + 4×61 + 4 8110 = 2136 = 2×62 + 1×61 + 3 10010 = 2446 = 2×62 + 4×61 + 4 10810 = 3006 = 3×62 12510 = 3256 = 3×62 + 2×61 + 5 14410 = 4006 = 4×62 17510 = 4516 = 4×62 + 5×61 + 1 18010 = 5006 = 5×62 21610 = 10006 = 1×63 25610 = 11046 = 1×63 + 1×62 + 0×61 + 4 56910 = 23456 = 2×63 + 3×62 + 4×61 + 5 72910 = 32136 = 3×63 + 2×62 + 1×61 + 3 100010 = 43446 = 4×63 + 3×62 + 4×61 + 4 102410 = 44246 = 4×63 + 4×62 + 2×61 + 4 108010 = 50006 = 5×63 129610 = 100006 = 1×64 194410 = 130006 = 1×64 + 3×63 200010 = 131326 = 1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2 500010 = 350526 = 3×64 + 5×63 + 0×62 + 5×61 + 2 656110 = 502136 = 5×64 + 0×63 + 2×62 + 1×61 + 3
+ Exemples d'opérations arithmétiques Décimal Sénaire 1944 + 56 = 2000 13000 + 132 = 13132 100 - 64 = 36 244 - 144 = 100 16 × 81 = 1296 24 × 213 = 10000 1080 ÷ 27 = 40 5000 ÷ 43 = 104 64 / 144 = 4 / 9 144 / 400 = 4 / 13 3 = 6561 3 = 50213 24 = 2×3 40 = 2×3
+ Date et heure Événement Décimal Sénaire La mort d'Alfred Nobel 10 / 12 / 1896 14 / 20 / 12440 Bombardement atomique d'Hiroshima 6 / 8 / 1945 10 / 12 / 13001 Attentats du 11 septembre 2001 11 / 9 / 2001 15 / 13 / 13133
Du décimal au sénaire Voici quelques points de repère. Décimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 15 18 24 27 30 36 Sénaire 1 2 3 4 5 10 11 12 13 20 23 30 40 43 50 100 Décimal 42 54 72 108 144 162 180 216 324 432 648 972 1080 1296 1944 2592 Sénaire 110 130 200 300 400 430 500 1000 1300 2000 3000 4300 5000 10000 13000 20000
Comme cela sera décrit en détail dans la section sur les fractions, le déplacement à chiffre supérieur des nombres sénaires a une relation de "quatre à neuf" (4×13 = 100).
Par conséquent, quatre 130 seront 1000, neuf 400 seront 10000, trois quarts de 1000 seront 430, deux neuvièmes de 100 seront 12.
Détection de multiples Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 2, 4, 0 — sont divisibles par 2. Tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 3 et 0 — divisibles par 3. Si les deux derniers chiffres sont un multiple de 4 {04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52, 00} — c'est un multiple de 4. Neuf (13 = 3) types en tout. Si la somme des chiffres est un multiple de 5 — c'est un multiple de 5. Si les deux derniers chiffres sont un multiple de 13 {13, 30, 43, 00} — c'est un multiple de 13 (neuf). 4 (= 2) types en tout.
(de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 2, 4, 6, 8, 0 sont divisibles par 2; et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 5 et 0 — divisibles par 5.)
Nombre premier Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5. (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).
Nombres premiers de 1 à 100 (à décimal 36) 2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51 Nombres premiers de 101 à 1000 (décimal 37 à 216) 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551 Nombres composés qui ne sont divisibles ni par 2 ni par 3, de 1 à 1000 (à décimal 216) 41, 55, 121, 131, 145, 205, 221, 231, 235, 311, 315, 321, 325, 341, 355, 401, 415, 425, 441, 451, 505, 511, 535, 541, 545, 555
Fractions et divisibilité Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.
Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal.) Six et dix sont seul nombre pair, un quart est exprimé en deux chiffres après la virgule. Ainsi, système sénaire et décimal, la position de 3 et 5 est inversée. Par exemple, "0,2" est de 1/5 (à savoir deux dixièmes) en décimal, mais 1/3 (à savoir deux sixièmes) en sénaire.
Dans la notation sénaire, réciproques des puissances de 2 sont puissances de 3, réciproques des puissances de 3 sont puissances de 2, la division par des puissances de 2 et 3 devient plus facile que toute notation. Ainsi, les puissances de 3 deviennent dominantes, les puissances de 5 deviennent faibles.
La fraction sénaire ont la caractéristique de "courte répétition" comme étant les mêmes que la fraction décimale. La fraction décimale ont 3 nécessite des répétitions à 3 chiffres, 3 nécessite des répétitions à 9 (= 3) chiffres. Comme ça, la fraction sénaire ont 5 nécessite des répétitions à 5 chiffres. Le nombre dont les répétitions atteint environ vingt-sept est de 3 en décimal (3, vingt-sept chiffres), 5 en sénaire (5, vingt-cinq chiffres).
Fraction unitaire Factorisation Décimal Sénaire 2 1/2 = 0,5 1/2 = 0,3 3 1/3 = 0,33 répétition 1/3 = 0,2 22 1/4 = 0,25 1/4 = 0,13 5 1/5 = 0,2 1/5 = 0,11 répétition 2×3 1/6 = 0,166 répétition 1/10 = 0,1 11 1/7 = 0,142857142857 répétition 1/11 = 0,0505 répétition 23 1/8 = 0,125 1/12 = 0,043 32 1/9 = 0,11 répétition 1/13 = 0,04 2×5 1/10 = 0,1 1/14 = 0,033 répétition 15 1/11 = 0,0909 répétition 1/15 = 0,03134524210313452421 répétition 22×3 1/12 = 0,08333 répétition 1/20 = 0,03 21 1/13 = 0,076923076923 répétition 1/21 = 0,024340531215024340531215 répétition 2×11 1/14 = 0,0714285714285 répétition 1/22 = 0,02323 répétition 3×5 1/15 = 0,066 répétition 1/23 = 0,022 répétition 24 1/16 = 0,0625 1/24 = 0,0213 2×32 1/18 = 0,055 répétition 1/30 = 0,02 22×5 1/20 = 0,05 1/32 = 0,0144 répétition 23×3 1/24 = 0,04166 répétition 1/40 = 0,013 52 1/25 = 0,04 1/41 = 0.0123501235 répétition 33 1/27 = 0,037037 répétition 1/43 = 0,012 25 1/32 = 0,03125 1/52 = 0,01043 22×32 1/36 = 0,0277 répétition 1/100 = 0,01 23×5 1/40 = 0,025 1/104 = 0,00522 répétition 24×3 1/48 = 0,020833 répétition 1/120 = 0,0043 2×52 1/50 = 0,02 1/122 = 0,00415304153 répétition 2×33 1/54 = 0,0185185 répétition 1/130 = 0,004 210 1/64 = 0,015625 1/144 = 0,003213 23×32 1/72 = 0,01388 répétition 1/200 = 0,003 24×5 1/80 = 0,0125 1/212 = 0,002411 répétition 34 1/81 = 0,012345679012345679 répétition 1/213 = 0,0024 25×3 1/96 = 0,0104166 répétition 1/240 = 0,00213 22×52 1/100 = 0,01 1/244 = 0,002054320543 répétition 22×33 1/108 = 0,00925925 répétition 1/300 = 0,002 53 1/125 = 0,008 1/325 = 0,00142111532240433515450310014211153224043351545031 répétition 211 1/128 = 0,0078125 1/332 = 0,0014043 24×32 1/144 = 0,006944 répétition 1/400 = 0,0013 25×5 1/160 = 0,00625 1/424 = 0,0012033 répétition 2×34 1/162 = 0,0061728395061728395 répétition 1/430 = 0,0012 210×3 1/192 = 0,00520833 répétition 1/520 = 0,001043 23×52 1/200 = 0,005 1/532 = 0,0010251402514 répétition 23×33 1/216 = 0,004629629 répétition 1/1000 = 0,001
Fraction principale Entrez l'équivalent en décimal entre parenthèses.
Jusqu'aux neuvièmes (sauf septièmes et huitièmes) 1/2 = 0,3 1/3 = 0,2 2/3 = 0,4 1/4 = 0,13 (9/36) 3/4 = 0,43 (27/36) 1/5 = 0.1111… 2/5 = 0.2222… 3/5 = 0.3333… 4/5 = 0.4444… (1/6)dix = 1/10 = 0,1 (5/6)dix = 5/10 = 0,5 (1/9)dix = 1/13 = 0,04 (4/36) (2/9)dix = 2/13 = 0,12 (8/36) (4/9)dix = 4/13 = 0,24 (16/36) (5/9)dix = 5/13 = 0,32 (20/36) (7/9)dix = 11/13 = 0,44 (28/36) (8/9)dix = 12/13 = 0,52 (32/36) (approximation de décimal 0,9)
Dixièmes (1/10)dix = 1/14 = 0,0333… (3/10)dix = 3/14 = 0,1444… (7/10)dix = 11/14 = 0,4111… (9/10)dix = 13/14 = 0,5222…
Douzièmes (1 / 2×3) (1/12)dix = 1/20 = 0,03 (3/36) (5/12)dix = 5/20 = 0,23 (15/36) (7/12)dix = 11/20 = 0,33 (21/36) (11/12)dix = 15/20 = 0,53 (33/36)
Dix-huitièmes (1 / 2×3) (1/18)dix = 1/30 = 0,02 (3/36) (5/18)dix = 5/30 = 0,14 (10/36) (7/18)dix = 11/30 = 0,22 (14/36) (11/18)dix = 15/30 = 0,34 (22/36) (13/18)dix = 21/30 = 0,42 (26/36) (17/18)dix = 25/30 = 0,54 (34/36)
Huitièmes (2) (1/8)dix = 1/12 = 0,043 (27/216) (3/8)dix = 3/12 = 0,213 (81/216) (5/8)dix = 5/12 = 0,343 (135/216) (7/8)dix = 11/12 = 0,513 (189/216)
Vingt-septièmes (3) (1/27)dix = 1/43 = 0,012 (8/216) (2/27)dix = 2/43 = 0,024 (16/216) (4/27)dix = 4/43 = 0,052 (32/216) (5/27)dix = 5/43 = 0,104 (40/216)